Chap.2: 一维势场中的粒子

2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质

$$\begin{equation} \label{eq:3} \bqty{- \frac{\hbar^2}{2 m} \dv[2]{x} + V(x)} \psi(x) = E \psi(x) \end{equation}$$

定理 1

设 $\psi(x)$ 是方程 $\eqref{eq:3}$ 的一个解, 对应的能量本征值为 $E$, 则 $\psi^*(x)$ 也是方程 $\eqref{eq:3}$ 的一个解, 对应的能量也是 $E$.

假设对应于能量的某个本征值 $E$, 方程 $\eqref{eq:3}$ 的解无简并 (即只有一个独立的解), 则可取为实解.

定理 2

对应于能量的某个本征值 $E$, 总可以找到方程 $\eqref{eq:3}$ 的一组实解, 凡是属于 $E$ 的任何解, 均可表示为这一组实解的线性叠加.

定理 3

设 $V(x)$ 具有空间反射不变性, $V(-x) = V(x)$. 如 $\psi(x)$ 是方程 $\eqref{eq:3}$ 的对应于能量本正值 $E$ 的解, 则 $\psi(-x)$ 也是方程 $\eqref{eq:3}$ 的对应于能量 $E$ 的解.

定理 4

设 $V(-x) = V(x)$, 则对应于任何一个能量本征值$E$, 总可以找到方程 $\eqref{eq:3}$ 的一组解 (每一个解都有确定的宇称), 而属于能量本征值 $E$ 的任何解, 都可用它们来展开.

定理 5

对于阶梯形方位势

$$V(x) = \begin{cases} V_1, & x < a \\ V_2, & x > a \end{cases}$$

$(V_2 - V_1)$ 有限, 则能量本征函数 $\psi(x)$ 及其导数 $\psi'(x)$ 必定是连续的 (但如 $\abs{V_2 - V_1} \to \infty$, 则定理不成立).

定理 6

对于一维粒子, 设 $\psi_1(x)$ 与 $\psi_2(x)$ 均为方程 $\eqref{eq:3}$ 的属于同一能量 $E$ 的解, 则

$$\psi_1 \psi_2' - \psi_2 \psi_1' = \text{常数 (与 $x$ 无关)}$$

定理 7

设粒子在规则 (regular) 势场 $V(x)$ ($V(x)$ 无奇点) 中运动, 如存在束缚态, 则必定是不简并的.

2.2 方势

2.2.1 无限深方势阱, 离散谱

$$V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < a \\ \infty, & x < 0, x > a \end{cases}$$

$$\begin{equation} \label{eq:7} E = E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2 m a^2} \qc n = 1, 2, 3, \dots \end{equation}$$

一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的, 即构成的能谱是离散的 (discrete). $E_n$ 称为体系的能量本征值. 与 $E_n$ 对应的波函数记为 $\psi_n(x)$, 称为能量本征函数,

$$\begin{equation} \label{eq:10} \psi_n(x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{n \pi x}{a}), & 0 < x < a \\ 0, & x < 0, x > a \end{cases} \end{equation}$$

讨论:

1. 粒子的最低能级 $E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m a^2} \neq 0$, 这与经典粒子不同, 是微观粒子波动性的表现, 因为 “静止的波” 是没有意义的. 从不确定度关系也可得出此定性的结论. 因为粒子限制在无限深势阱中, 位置不确定度 $\Delta x \sim a$. 按不确定度关系, $\Delta p \sim \hbar / \Delta x \sim \hbar / a$. 因此, 粒子能量 $E \sim p^2 / 2 m \sim (\Delta p)^2 / 2 m \sim \hbar^2 / 2 m a^2 \neq 0$.
2. 从图 2.1 可看出, 除端点 ($x = 0, a$) 外, 基态 (能量最低态, $n = 1$) 波函数无节点, 第一激发态 ($n = 2$) 有一个节点, 第 $k$ 激发态 ($n = k + 1$) 有 $k$ 个节点.
3. 不难验证, 波函数 $\eqref{eq:10}$ 在全空间连续, 但微商 $\psi_n'(x)$ 在 $x = 0$ 和 $a$ 点不连续.

练习

试取无限深方势阱的中心为坐标原点, 即

$$V(x) = \begin{cases} 0, & \abs{x} < a / 2 \\ \infty, & \abs{x} \geqslant a / 2 \end{cases}$$

证明粒子的能量仍如式 $\eqref{eq:7}$ 所示, 但波函数表示为

$$\psi(x) = \begin{cases} \begin{gathered} \sqrt{\frac{2}{a}} \cos(\frac{n \pi x}{a}) \qc n = 1, 3, 5, \cdots, \text{(偶宇称)} \\ \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{n \pi x}{a}) \qc n = 2, 4, 6, \cdots, \text{(奇宇称)} \end{gathered} & \abs{x} < a / 2 \\ 0, & \abs{x} \geqslant a / 2 \end{cases}$$

2.2.2 有限深对称方势阱

设

$$V(x) = \begin{cases} 0, & \abs{x} < a / 2 \\ V_0, & \abs{x} > a / 2 \end{cases}$$

$a$ 为阱宽, $V_0$ 为势阱高度. 以下讨论束缚态 ($0 < E < V_0$) 的情况.

$$\begin{gather*} \beta = \sqrt{2 m (V_0 - E)} / \hbar \qq{(实)} \\ k = \sqrt{2 m E} / \hbar \end{gather*}$$

(a) 偶宇称态

$$\psi(x) \sim \cos{k x} \quad (\abs{x} \leqslant a / 2)$$

$$\begin{equation} \label{eq:20} k \tan(k a / 2) = \beta \end{equation}$$

引进无量纲参数

$$\xi = k a / 2 \qc \eta = \beta a / 2$$

则式 $\eqref{eq:20}$ 化为

$$\xi \tan{\xi} = \eta$$

此外, 有

$$\xi^2 + \eta^2 = m V_0 a^2 / 2 \hbar^2$$

(b) 奇宇称态

$$\psi(x) \sim \sin{k x} \quad (\abs{x} < a / 2)$$

$$- k \cot(k a / 2) = \beta$$

$$- \xi \cot{\xi} = \eta$$

2.2.3 束缚态与离散谱

束缚能量本征态 ($E < V_0$) 的能量是离散的.

基态波函数无节点, 激发态的节点数依次增加一个, 能量愈高的激发态, 波函数振荡愈厉害.

2.2.4 方势垒的反射与透射

$$V(x) = \begin{cases} V_0, & 0 < x < a \\ 0, & x < 0, x > a \end{cases}$$

$$\abs{R}^2 + \abs{S}^2 = 1$$

$\abs{R}^2$ 表示粒子被势垒反弹回去的概率, $\abs{S}^2$ 表示粒子透过势垒的概率. 粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象, 称为 隧道效应 (tunnel effect), 它是粒子具有波动性的表现.

$T$ 灵敏地依赖于粒子的质量 $m$、势垒宽度 $a$ 以及 $(V_0 - E)$.

2.2.5 方势阱的反射、透射与共振

2.3 $\delta$ 势

2.3.1 $\delta$ 势的穿透

2.3.2 $\delta$ 势阱中的束缚态

2.3.3 $\delta$ 势与方势的关系, 波函数微商的跃变条件

2.4 一维谐振子