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03. 流体运动学

Course NotesFluid MechanicsAbout 3 minAbout 972 words

3.1 流体运动的描述方法

3.1.1 拉格朗日法

拉格朗日法 是质点系法. 拉格朗日法的特点是: 跟着所选定的流体质点, 观察它的位移.

3.1.2 欧拉法

欧拉法 是空间点法. 欧拉法的特点是在选定的空间上观察流经它的流体质点的运动情况.

3.1.3 流体质点的加速度、质点导数

\vb∗a=\dv\vb∗ut=\pdv\vb∗ut+(\vb∗u⋅\grad)\vb∗u=时变加速度+位变加速度 \begin{equation*} \begin{split} \vb*{a} & = \dv{\vb*{u}}{t} \\ & = \pdv{\vb*{u}}{t} + \pqty{\vb*{u} \cdot \grad} \vb*{u} \\ & = \text{时变加速度} + \text{位变加速度} \end{split} \end{equation*}

\dvt≡(\pdvt+\vb∗u⋅\grad) \dv{t} \equiv \pqty{\pdv{t} + \vb*{u} \cdot \grad}

\dvt\dv{t} 表示求 质点导数 (全导数); \pdvt\pdv{t} 表示求 时变导数 (当地导数或局部导数); \vb∗u⋅\grad\vb*{u} \cdot \grad 表示求 位变导数 (迁移导数或对流导数).

3.2 有关流场的几个基本概念

3.2.1 恒定流、非恒定流

若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化, 称流动为 恒定流. 否则, 为 非恒定流.

流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关.

3.2.2 迹线和流线

1. 迹线

迹线 是流体质点运动的轨迹.

\dd\vb∗r=\vb∗u\bqtyx(t),y(t),z(t),t\ddt即\ddxux=\ddyuy=\ddzuz=\ddt \dd{\vb*{r}} = \vb*{u}\bqty{x(t), y(t), z(t), t} \dd{t} \qq{即} \frac{\dd{x}}{u_x} = \frac{\dd{y}}{u_y} = \frac{\dd{z}}{u_z} = \dd{t}

2. 流线

流线 是流速场的矢量线.

\vb∗u\cp\dd\vb∗l=0即\ddxux=\ddyuy=\ddzuz \vb*{u} \cp \dd{\vb*{l}} = 0 \qq{即} \frac{\dd{x}}{u_x} = \frac{\dd{y}}{u_y} = \frac{\dd{z}}{u_z}

3.2.3 流管和流量

在流场中, 取一条不与流线重合的封闭曲线 LL, 在同一时刻过 LL 上每一点作流线, 由这些流线围成的管状曲面称为 流管.

与流动方向正交的流管的横断面叫 过流断面.

过流断面为面积微元的流管叫 元流管, 其中的流动称为 元流. 过流断面为有限面积的流管中的流动叫 总流.

3.2.4 均匀流, 非均匀流; 渐变流, 急变流

把位变导数为零的流场中的流动称为 均匀流, 否则为 非均匀流.

将接近于均匀流的流动称为 渐变流. 流线间夹角较大或流线弯曲的曲率较大的流动为 急变流.

3.3 流体微团运动的分析

3.3.1 海姆霍兹速度分解定理

\vb∗u^=\vb∗u+\vb∗E⋅\dd\vb∗r+\vb∗Ω\cp\dd\vb∗r \hat{\vb*{u}} = \vb*{u} + \vb*{E} \cdot \dd{\vb*{r}} + \vb*{\Omega} \cp \dd{\vb*{r}}

流体的变形速率张量\vb∗ε=[εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz]=[12(\pdvuxx+\pdvuxx)12(\pdvuxy+\pdvuyx)12(\pdvuxz+\pdvuzx)12(\pdvuyx+\pdvuxy)12(\pdvuyy+\pdvuyy)12(\pdvuyz+\pdvuzy)12(\pdvuzx+\pdvuxz)12(\pdvuzy+\pdvuyz)12(\pdvuzz+\pdvuzz)] \qq{流体的变形速率张量} \vb*{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_x}{x} + \pdv{u_x}{x}} & \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_x}{y} + \pdv{u_y}{x}} & \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_x}{z} + \pdv{u_z} {x}} \\ \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_y}{x} + \pdv{u_x}{y}} & \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_y}{y} + \pdv{u_y}{y}} & \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_y}{z} + \pdv{u_z} {y}} \\ \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_z}{x} + \pdv{u_x}{z}} & \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_z}{y} + \pdv{u_y}{z}} & \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_z}{z} + \pdv{u_z}{z}} \end{bmatrix}

流体旋转角速度矢量\vb∗Ω=(ωx,ωy,ωz)=\bqty12(\pdvuzy−\pdvuyz),12(\pdvuxz−\pdvuzx),12(\pdvuxy−\pdvuyx) \qq{流体旋转角速度矢量} \vb*{\Omega} = \pqty{\omega_x, \omega_y, \omega_z} = \bqty{\frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_z}{y} - \pdv{u_y}{z}}, \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_x}{z} - \pdv{u_z}{x}}, \frac{1}{2} \pqty{\pdv{u_x}{y} - \pdv{u_y} {x}}}

\vb∗Ω=12\curl\vb∗u \vb*{\Omega} = \frac{1}{2} \curl{\vb*{u}}

3.3.2 流体微团运动分析

\vb∗u^=\vb∗u+\vb∗E⋅\dd\vb∗r+\vb∗Ω\cp\dd\vb∗r \hat{\vb*{u}} = \vb*{u} + \vb*{E} \cdot \dd{\vb*{r}} + \vb*{\Omega} \cp \dd{\vb*{r}}

\vb∗u^\hat{\vb*{u}} — M^\hat{M} 点的流速; \vb∗u\vb*{u} — MM 点的流速; \vb∗E⋅\dd\vb∗r\vb*{E} \cdot \dd{\vb*{r}} — 流体变形引起的两点相对运动速度, 包括线变形和角变形; \vb∗Ω\cp\dd\vb∗r\vb*{\Omega} \cp \dd{\vb*{r}} 是流体平均旋转角速度引起的两点相对运动速度. 海姆霍兹速度分解定理表明流体微团运动可分解为平移、转动和变形三种形式.

3.4 连续性方程

1. 三维流动的连续性微分方程

\pdvρt+÷(ρ\vb∗u)=0 \pdv{\rho}{t} + \div(\rho \vb*{u}) = 0