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04. 流体动力学基础

Course NotesFluid MechanicsAbout 3 minAbout 808 words

4.1 运动流体的应力状态

4.2 流体运动微分方程

4.2.2 不可压缩粘性流体的运动微分方程 — 纳维-斯托克斯方程

\dv\vb∗ut=\pdv\vb∗ut+(\vb∗u\vdot\grad)\vb∗u=\vb∗f−1ρ\gradp+ν∇2\vb∗u \dv{\vb*{u}}{t} = \pdv{\vb*{u}}{t} + \pqty{\vb*{u} \vdot \grad} \vb*{u} = \vb*{f} - \frac{1}{\rho} \grad{p} + \nu \laplacian{\vb*{u}}

\pdv\vb∗ut\pdv{\vb*{u}}{t} — 时变惯性力; (\vb∗u\vdot\grad)\vb∗u\pqty{\vb*{u} \vdot \grad} \vb*{u} — 位变惯性力; \vb∗f\vb*{f} — 质量力; 1ρ\gradp\frac{1}{\rho} \grad{p} — 压力差; ν∇2\vb∗u\nu \laplacian{\vb*{u}} — 黏性力

4.2.3 理想流体的运动微分方程 — 欧拉方程

\dv\vb∗ut=\pdv\vb∗ut+(\vb∗u\vdot\grad)\vb∗u=\vb∗f−1ρ\gradp \dv{\vb*{u}}{t} = \pdv{\vb*{u}}{t} + \pqty{\vb*{u} \vdot \grad} \vb*{u} = \vb*{f} - \frac{1}{\rho} \grad{p}

4.3 理想流体恒定元流的能量方程

4.3.1 理想流体运动微分方程的积分

1. 理想流体恒定流动沿流线的积分 — 伯努利积分

条件: 理想, 恒定, 不可压, 质量力有势

对同一流线上任意两点 1 和 2 有

z1+p1ρg+u122g=z2+p2ρg+u222g z_1 + \frac{p_1}{\rho g} + \frac{u_1^2}{2 g} = z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \frac{u_2^2}{2 g}

2. 理想流体恒定有势流动的积分 — 欧拉积分

条件: 理想, 恒定, 不可压, 质量力有势, 无旋 (有势)

z+pρg+u22g=C z + \frac{p}{\rho g} + \frac{u^2}{2 g} = C

4.3.2 恒定元流的能量方程

1. 伯努利方程的物理和几何意义

zz — 位置势能; pρg\frac{p}{\rho g} — 压强势能; z+pρgz + \frac{p}{\rho g} — 总势能; u22g\frac{u^2}{2 g} — 动能; z+pρg+u22gz + \frac{p}{\rho g} + \frac{u^2}{2 g} — 总机械能

zz — 位置水头; pρg\frac{p}{\rho g} — 压强水头; z+pρgz + \frac{p}{\rho g} — 测压管水头; u22g\frac{u^2}{2 g} — 速度水头; H=z+pρg+u22gH = z + \frac{p}{\rho g} + \frac{u^2}{2 g} — 总水头

4.4 恒定总流的能量方程

4.4.1 恒定总流能量方程的推导

总机械能 (总水头)H=z+pρg+αu22g \qq{总机械能 (总水头)} H = z + \frac{p}{\rho g} + \frac{\alpha u^2}{2 g}

α\alpha — 动能修正系数, α>1.0\alpha > 1.0, 常近似地取 α=1.0\alpha = 1.0.

z1+p1ρg+u122g=z2+p2ρg+u222g+hw1−2 z_1 + \frac{p_1}{\rho g} + \frac{u_1^2}{2 g} = z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \frac{u_2^2}{2 g} + h_{w 1-2}

断面 1-1 是上游断面, 断面 2-2 是下游断面, hw1−2h_{w 1-2} 为总流在断面 1-1 和 2-2 之间平均每单位重量流体所损耗的机械能, 称为 水头损失.

4.4.2 恒定总流能量方程的几何表示 — 水头线

水力坡度J=−\dvHs=\dvhws \qq{水力坡度} J = - \dv{H}{s} = \dv{h_w}{s}

4.4.3 能量方程的应用举例

K=π4d12d22d14−d242gQ实=μKΔh \begin{gather*} K = \frac{\pi}{4} \frac{d_1^2 d_2^2}{\sqrt{d_1^4 - d_2^4}} \sqrt{2 g} \\ Q_{\text{实}} = \mu K \sqrt{\Delta{h}} \end{gather*}

μ\mu — 文透里管的流量系数, μ<1.0\mu < 1.0

4.4.4 恒定总流能量方程应用的扩展

条件:

  1. 恒定流, 不可压缩
  2. 质量力只有重力
  3. 所取的上下游两个断面应在渐变流段中, 但在两个断面之间的流动可以不是渐变流
  4. 两断面间没有能量的输入或输出
  5. 两断面间没有流量的流入或流出

4.5 恒定总流的动量方程

4.5.1 恒定总流的动量方程

ρ(α02v2\vb∗v2A2−α01v1\vb∗v1A1)=∑\vb∗F或ρQ(α02\vb∗v2−α01\vb∗v1)=∑\vb∗F \rho \pqty{\alpha_{02} v_2 \vb*{v}_2 A_2 - \alpha_{01} v_1 \vb*{v}_1 A_1} = \sum{\vb*{F}} \qq{或} \rho Q \pqty{\alpha_{02} \vb*{v}_2 - \alpha_{01} \vb*{v}_1} = \sum{\vb*{F}}

α0\alpha_0 — 动量修正系数, α0>1\alpha_0 > 1, 常采用 α0=1.0\alpha_0 = 1.0