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05. 有旋流动和有势流动

Course NotesFluid MechanicsAbout 3 minAbout 915 words

5.1 有旋流动

5.1.1 涡量、涡线、涡管、涡通量

涡量\vb∗Ω=\curl\vb∗u=2\vb∗ω \qq{涡量} \vb*{\Omega} = \curl{\vb*{u}} = 2 \vb*{\omega}

涡线\vb∗Ω\cp\dd\vb∗l=0即\ddxΩx=\ddyΩy=\ddzΩz \qq{涡线} \vb*{\Omega} \cp \dd{\vb*{l}} = 0 \qq{即} \frac{\dd{x}}{\Omega_x} = \frac{\dd{y}}{\Omega_y} = \frac{\dd{z}}{\Omega_z}

在流场中, 取一条不与涡线重合的封闭曲线 LL, 在同一时刻过 LL 上每一点作涡线, 由这些涡线围成的管状曲面称为 涡管.

涡通量I=∬A\vb∗Ω\vdot\vb∗n\ddA \qq{涡通量} I = \iint_A \vb*{\Omega} \vdot \vb*{n} \dd{A}

5.1.2 速度环量、斯托克斯定理

速度环量ΓAB=∫AB\vb∗u\vdot\dd\vb∗L \qq{速度环量} \Gamma_{AB} = \int_{AB} \vb*{u} \vdot \dd{\vb*{L}}

斯托克斯定理∮L\vb∗u\vdot\dd\vb∗L=∬A\vb∗Ω\vdot\vb∗n\ddA=∬A(\curl\vb∗u)\vdot\vb∗n\ddA \qq{斯托克斯定理} \oint_L \vb*{u} \vdot \dd{\vb*{L}} = \iint_A \vb*{\Omega} \vdot \vb*{n} \dd{A} = \iint_A \pqty{\curl{\vb*{u}}} \vdot \vb*{n} \dd{A}

5.1.3 漩涡随空间的变化规律

由涡管强度守恒定理可得到结论: 涡管截面不可能收缩为零, 即涡管不能在流体中终止或开始. 涡管存在的形式只可能有以下两种:

  1. 涡管本身成封闭形;
  2. 涡管的两端位于流体边界面 (自由表面或固体表面) 上, 或者伸展到无穷远.

5.3 卡门涡街

出现在圆柱绕流尾流区的两组规则交错排列的线涡

5.4 有势流动

5.4.1 速度势函数

\vb∗u=\gradφ \vb*{u} = \grad{\varphi}

性质:

  1. 在不可压缩流体中, 速度势函数满足拉普拉斯方程.
  2. 速度势函数在不可压缩流体内部不可能有极大值与极小值.

5.4.2 不可压缩流体的流函数

\ddψ=ux\ddy−uy\ddx显然\pdvψx=−uy,\pdvψy=ux \dd{\psi} = u_x \dd{y} - u_y \dd{x} \qq{显然} \pdv{\psi}{x} = - u_y \qc \pdv{\psi}{y} = u_x

性质:

  1. 等流函数线是流线, 等流函数线的切线方向与速度矢量方向一致.
  2. 任意两流线间的流量等于这两条流线的流函数值之差, 或者过任意两点连线的流量等于这两点的流函数值之差.
  3. 在有势流动中, ψ(x,y)\psi(x, y) 满足拉普拉斯方程, 是调和函数.
  4. 流函数 ψ\psi 在流体内部不可能有极大值和极小值.

5.4.3 不可压缩平面势流中速度势函数 φ\varphi 和流函数 ψ\psi 的关系、复势、复速度

ux=\pdvφx=\pdvψyuy=\pdvφy=−\pdvψx}柯西-黎曼条件 \begin{rcases} u_x = \pdv{\varphi}{x} = \pdv{\psi}{y} \\ u_y = \pdv{\varphi}{y} = - \pdv{\psi}{x} \end{rcases} \qq{柯西-黎曼条件}

  1. 等势线与等流函数线正交

  2. 复势W(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)复速度\dvWz=\pdvφx+i\pdvψx=ux−iuy复速度Vˉ=\dvWz=ux−iuy=\abs\vb∗ue−iθ \qq{复势} W(z) = \varphi(x, y) + i \psi(x, y) \\ \qq{复速度} \dv{W}{z} = \pdv{\varphi}{x} + i \pdv{\psi}{x} = u_x - i u_y \\ \qq{复速度} \bar{V} = \dv{W}{z} = u_x - i u_y = \abs{\vb*{u}} e^{- i \theta}

复势的主要性质:

  1. 复速度沿封闭围线 CC 的积分, 其实部为沿该封闭围线的速度环量, 而虚部则为通过围线 CC 的流量.

5.7 几个平面基本势流

5.7.1 直线等速流动

速度 U∞U_{\infty} 与 xx 轴的夹角为 α\alpha

ψ=−U∞xsin⁡α+U∞ycos⁡αφ=U∞xcos⁡α+U∞ysin⁡α \psi = - U_{\infty} x \sin{\alpha} + U_{\infty} y \cos{\alpha} \\ \varphi = U_{\infty} x \cos{\alpha} + U_{\infty} y \sin{\alpha}

5.7.2 平面点源和点汇

φ=q2πln⁡rψ=q2πθ \varphi = \frac{q}{2 \pi} \ln{r} \\ \psi = \frac{q}{2 \pi} \theta

5.7.3 平面点涡

φ=Γ2πθψ=−Γ2πln⁡r \varphi = \frac{\Gamma}{2 \pi} \theta \\ \psi = - \frac{\Gamma}{2 \pi} \ln{r}

5.8 势流叠加原理及其举例

5.8.1 势流叠加法

1. 平面偶极子势流 — 等强度源和汇的叠加

φ=m2πxx2+y2ψ=−m2πyx2+y2 \varphi = \frac{m}{2 \pi} \frac{x}{x^2 + y^2} \\ \psi = - \frac{m}{2 \pi} \frac{y}{x^2 + y^2}

2. 圆柱绕流 — 等速直线流动与平面偶极子势流的叠加

零流线r=a=m2πU∞ \qq{零流线} r = a = \sqrt{\frac{m}{2 \pi U_{\infty}}}

φ=U∞rcos⁡θ(1+a2r2)ψ=U∞rsin⁡θ(1−a2r2) \varphi = U_{\infty} r \cos{\theta} \pqty{1 + \frac{a^2}{r^2}} \\ \psi = U_{\infty} r \sin{\theta} \pqty{1 - \frac{a^2}{r^2}}