第十一章 数学物理方程和定解条件

几种常见的数学物理方程

波动方程

在二阶线性偏微分方程的分类上属于双曲型方程.

$$\begin{align*} & \text{一维情形} & & \pdv[2]{u}{t} - a^2 \pdv[2]{u}{x} = f\qty(x, t), \\ & \text{二、三维情形} & & \pdv[2]{u}{t} - a^2 \laplacian{u} = f\qty(r, t). \end{align*}$$

热传导方程

在二阶线性偏微分方程分类上属于抛物型方程.

$$\begin{align*} & \text{一维情形} & & \pdv{u}{t} - \kappa \pdv[2]{u}{x} = f\qty(x, t), \\ & \text{二、三维情形} & & \pdv{u}{t} - \kappa \laplacian{u} = f\qty(r, t). \end{align*}$$

稳定问题

在二阶线性偏微分方程分类上属于椭圆型方程.

$$\begin{align*} & \text{Laplace 方程} & & \laplacian{u} = 0, \\ & \text{Poisson 方程} & & \laplacian{u} = - f\qty(r), \\ & \text{Helmholtz 方程} & & \laplacian{u} + k^2 u = 0. \end{align*}$$

定解问题

为了完全描述一个确定的物理问题, 除了给出物理场所遵从的方程之外, 还必须知道定解条件: 包括边界条件和初始条件 (稳定问题除外).

初始条件

体系 内部及边界上每一点 在初始时刻 ($t = 0$) 的状况.

对于波动问题, 需给出物体内部及边界上每一点在初始时刻相关物理量及其时间变化率的值, 即

$$\eval{u\qty(x, y, z, t)}_{t = 0} = \phi\qty(x, y, z) \qc \eval{\pdv{u}{t}}_{t = 0} = \psi\qty(x, y, z) \qc \qty(x, y, z) \in V. \nonumber$$

对热传导问题, 需给出休系 内部及边界上每一点 在初始时刻 ($t = 0$) 相关物理量的值,

$$\eval{u\qty(x, y, z, t)}_{t = 0} = \phi\qty(x, y, z) \qc \qty(x, y, z) \in V. \nonumber$$

对不含时间的稳定问题当然没有初始条件.

边界条件

在边界上 每一点 在 任何时刻 的状况 (见下).

由方程及定解条件, 就构成定解问题.

边界条件的各种可能形式

在任何时刻 $t$, 每个边界点将具有各自的边界条件, 常见的边界条件有:

第一、二、三类边界条件

$$\pqty{a u + \beta \pdv{u}{n}}_{\Sigma} = 0, \nonumber$$

其中 $\Sigma$ 是边界点的坐标, $\eval{\frac{\partial u}{\partial n}}_{\Sigma}$ 是 $u$ 在边界面上各点的法向导数.

若 $\beta = 0$ 为第一类边界条件, 若 $\alpha = 0$ 为第二类边界条件, 若二者均不为 0, 就是第三类边界条件.

对一维情况, 边界就是两个端点 (设为 $a$, $b$, 且 $a < b$), 则有

$$\qty(\alpha_1 u - \beta_1 \pdv{u}{x})_{x = a} = 0 \qc \qty(\alpha_2 u + \beta_2 \pdv{u}{x})_{x = b} = 0, \nonumber$$

在 $x = a$ 处的边界条件中符号来源于边界的法线方向为 $-x$ 方向.

自然边界条件, 或称物理边界条件

有界条件

在非奇异的情况下 (非源点所在处), 物理量应是有界的. 经常用在坐标原点 $r=0$ 处.

周期条件

在平面极坐标、柱坐标和球坐标的经度坐标中实际物理场应满足 $2 \pi$ 的周期条件.

无穷远条件

常用以下几种条件:

$$\lim_{r \to \infty} u = 0; \\ \lim_{r \to \infty} u ~ \text{有界} \\ u ~ \text{在} ~ r ~ \text{大时有渐进性为} ~ f\qty(\vb*{r}, t) ~ \text{(已知函数)} \nonumber$$

连接条件, 存在于两种介质的界面处

以一维问题为例, 在两种介质的连接点 $x = c$ 处, 可以满足:

对波动问题:

$$\begin{align*} & \eval{u_1}_{x = c} = \eval{u_2}_{x = c} & & \text{(连接点两侧的位移相等)}, \\ & \eval{E_1 \pdv{u_1}{x}}_{x = c} = \eval{E_2 \pdv{u_2}{x}}_{x = c} & & \text{(连接点两侧的应力相等)}; \\ \end{align*}$$

对热传导问题:

$$\begin{align*} & \eval{u_1}_{x = c} = \eval{u_2}_{x = c} & & \text{(连接点两侧的温度相等)}, \\ & \eval{k_1 \pdv{u_1}{x}}_{x = c} = \eval{k_2 \pdv{u_2}{x}}_{x = c} & & \text{(连接点两侧的热流密度相等)}. \\ \end{align*}$$