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第十八章 Green 函数方法

Course NotesMathematical Physics EquationsAbout 4 minAbout 1144 words

稳定问题的 Green 函数

对于 Poisson 方程的定解问题

∇2u=ρ,r∈V,\labeleq−18−1a\qty(αu+β\pdvun)Σ=f\qty(Σ),\labeleq−18−1b \begin{gather} \laplacian{u} = \rho \qc r \in V, \tag{1a} \label{eq-18-1a} \\ \qty(\alpha u + \beta \pdv{u}{n})_{\Sigma} = f\qty(\Sigma), \tag{1b} \label{eq-18-1b} \end{gather}

其 Green 函数 G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') 是点源问题

∇2G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)=−δ\qty(\vb∗r−\vb∗r′),\vb∗r,\vb∗r′∈V\labeleq−18−2a \begin{equation} \laplacian G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') = - \delta\qty(\vb*{r} - \vb*{r}') \qc \vb*{r}, \vb*{r}' \in V \tag{2a} \label{eq-18-2a} \end{equation}

在齐次边界条件

\qty(αG+β\pdvGn)Σ=0\labeleq−18−2b \begin{equation} \qty(\alpha G + \beta \pdv{G}{n})_{\Sigma} = 0 \tag{2b} \label{eq-18-2b} \end{equation}

下的解. 这里需约定 α≠0\alpha \neq 0. 当 α=0\alpha = 0 (第二类边界条件) 时, 需另行定义广义 Green 函数.

对于 Helmholtz 方程的定解问题

∇2u+k2u=ρ,r∈V,\labeleq−18−3a\qty(αu+β\pdvun)Σ=f\qty(Σ),\labeleq−18−3b \begin{gather} \laplacian u + k^2 u = \rho \qc r \in V, \tag{3a} \label{eq-18-3a} \\ \qty(\alpha u + \beta \pdv{u}{n})_{\Sigma} = f\qty(\Sigma), \tag{3b} \label{eq-18-3b} \end{gather}

其 Green 函数 G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') 也是非齐次偏微分方程

∇2G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)+k2G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)=−δ\qty(\vb∗r−\vb∗r′),\vb∗r,\vb∗r′∈V\labeleq−18−4a \begin{equation} \laplacian G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') + k^2 G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') = - \delta\qty(\vb*{r} - \vb*{r}') \qc \vb*{r}, \vb*{r}' \in V \tag{4a} \label{eq-18-4a} \end{equation}

在齐次边界条件

\qty(αG+β\pdvGn)Σ=0\labeleq−18−4b \begin{equation} \qty(\alpha G + \beta \pdv{G}{n})_{\Sigma} = 0 \tag{4b} \label{eq-18-4b} \end{equation}

下的解.

Green 函数 G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') 的基本性质

G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') 的奇异性

\vb∗r=\vb∗r′\vb*{r} = \vb*{r}' 是 G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') 的奇点, 但具体的奇异行为随空间维数而异.

G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') 的对称性

当 G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') 满足定解问题 \eqrefeq−18−4a\eqref{eq-18-4a}, \eqrefeq−18−4b\eqref{eq-18-4b} 时, 则具有对称性:

G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)=G\qty(\vb∗r′;\vb∗r). G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') = G\qty(\vb*{r}'; \vb*{r}). \nonumber

解偏微分方程定解问题的 Green 函数方法

对于定解问题 \eqrefeq−18−1a\eqref{eq-18-1a}, \eqrefeq−18−1b\eqref{eq-18-1b} 或 \eqrefeq−18−3a\eqref{eq-18-3a}, \eqrefeq−18−3b\eqref{eq-18-3b}, 均有解

u\qty(r)=−∭VG\qty(\vb∗r;\vb∗r′)ρ\qty(\vb∗r′)\dd\vb∗r′−1α∬Σf\qty(Σ′)\eval\pdvG\qty(\vb∗r;\vb∗r′)n′Σ′\ddΣ′,\labeleq−18−5(5) u\qty(r) = - \iiint_V G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') \rho\qty(\vb*{r}') \dd{\vb*{r}'} - \frac{1}{\alpha} \iint_{\Sigma} f\qty(\Sigma') \eval{\pdv{G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}')}{n'}}_{\Sigma'} \dd\Sigma', \tag{5} \label{eq-18-5}

其中 G\qty(\vb∗r;\vb∗r′)G\qty(\vb*{r}; \vb*{r}') 是定解问题 \eqrefeq−18−2a\eqref{eq-18-2a}, \eqrefeq−18−2b\eqref{eq-18-2b} 或 \eqrefeq−18−4a\eqref{eq-18-4a}, \eqrefeq−18−4b\eqref{eq-18-4b} 的解.

波动方程的 Green 函数

以一维有界区间内的波动方程定解问题

\pdv[2]ut−a2\pdv[2]ux=f\qty(x,t),0<x<l, t>0,\labeleq−18−6a\evalux=0=μ\qty(t),\evalux=l=ν\qty(t),t>0,\labeleq−18−6b\evalut=0=ϕ\qty(x),\eval\pdvutt=0=ψ\qty(x),0<x<l\labeleq−18−6c \begin{align} & \pdv[2]{u}{t} - a^2 \pdv[2]{u}{x} = f\qty(x, t), & & & & 0 < x < l, ~ t > 0, \tag{6a} \label{eq-18-6a} \\ & \eval{u}_{x = 0} = \mu\qty(t), & & \eval{u}_{x = l} = \nu\qty(t), & & t > 0, \tag{6b} \label{eq-18-6b} \\ & \eval{u}_{t = 0} = \phi\qty(x), & & \eval{\pdv{u}{t}}_{t = 0} = \psi\qty(x), & & 0 < x < l \tag{6c} \label{eq-18-6c} \end{align}

为例, 其 Green 函数 G\qty(x,t;x′,t′)G\qty(x, t; x', t') 是瞬时 (仅存在于某一时刻) 点 (仅存在于空间某点) 源问题

\qty(\pdv[2]t−a2\pdv[2]x)G\qty(x,t;x′,t′)=δ\qty(x−x′)δ\qty(t−t′),x<x,x′<l, t,t′>0\labeleq−18−7a(7a) \qty(\pdv[2]{t} - a^2 \pdv[2]{x}) G\qty(x, t; x', t') = \delta\qty(x - x') \delta\qty(t - t') \qc x < x, x' < l, ~ t, t' > 0 \tag{7a} \label{eq-18-7a}

在齐次定解条件

\evalG\qty(x,t;x′,t′)x=0=0,\evalG\qty(x,t;x′,t′)x=l=0,t,t′>0,\labeleq−18−7b\evalG\qty(x,t;x′,t′)t<t′=0,\eval\pdvG\qty(x,t;x′,t′)tt<t′=0,0<x,x′<l\labeleq−18−7c \begin{align} & \eval{G\qty(x, t; x', t')}_{x = 0} = 0, & & \eval{G\qty(x, t; x', t')}_{x = l} = 0, & & t, t' > 0, \tag{7b} \label{eq-18-7b} \\ & \eval{G\qty(x, t; x', t')}_{t < t'} = 0, & & \eval{\pdv{G\qty(x, t; x', t')}{t}}_{t < t'} = 0, & & 0 < x, x' < l \tag{7c} \label{eq-18-7c} \end{align}

下的解. 去掉定解问题 \eqrefeq−18−7a\eqref{eq-18-7a}, \eqrefeq−18−7b\eqref{eq-18-7b}, \eqrefeq−18−7c\eqref{eq-18-7c} 中的限制条件 t,t′>0t, t' > 0, 也就是将 Green 函数 G\qty(x,t;x′,t′)G\qty(x, t; x', t') 的定义域延拓为 −∞<t,t′<∞-\infty < t, t' < \infty, 则 G\qty(x,t;x′,t′)G\qty(x, t; x', t') 具有空间变量的对称性和时间变量的倒易性

G\qty(x,t;x′,t′)=G\qty(x′,−t′;x,−t). G\qty(x, t; x', t') = G\qty(x', -t'; x, -t). \nonumber

可以用此 Green 函数 G\qty(x,t;x′,t′)G\qty(x, t; x', t') 表示出定解问题 \eqrefeq−18−7a\eqref{eq-18-7a}, \eqrefeq−18−7b\eqref{eq-18-7b}, \eqrefeq−18−7c\eqref{eq-18-7c} 的解

\begin{eqnarray} u\qty(x, t) & = & \int_0^l \dd{x} \int_0^t G\qty(x, t; x', t') f\qty(x', t') \dd{t'} \nonumber \\ & & + \int_0^l \qty[\eval{G\qty(x, t; x', 0) \psi\qty(x') - \phi\qty(x') \pdv{G\qty(x, t; x', t')}{t'}}_{t' = 0}] \dd{x'} \nonumber \\ & & - a^2 \int_0^t \qty[\nu\qty(t') \eval{\pdv{G\qty(x, t; x', t')}{x'}}_{x' = l} - \mu\qty(t') \eval{\pdv{G\qty(x, t; x', t')}{x'}}_{x' = 0}] \dd{t'}. \tag{8} \label{eq-18-8} \end{eqnarray}

热传导问题也可类似地讨论.

Green 函数的求法

Green 函数满足的是非齐次方程、齐次定解条件的定解问题, 因此可以用按相应齐次问题本征函数展开法求解, 也可用积分变换法求解; 另一方面, 由于出现的是特殊的非齐次项 (点源或瞬时点源, 数学形式为 δ\delta 函数), 故又有一些特殊的解法, 如电像法.