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第十七章 积分变换的应用

Course NotesMathematical Physics EquationsAbout 1 minAbout 300 words

常用的积分变换有 Laplace 变换和 Fourier 变换两种.

Laplace 变换

F\qty(p)=∫0∞f\qty(t)e−pt\ddt. F\qty(p) = \int_0^{\infty} f\qty(t) e^{- p t} \dd{t}. \nonumber

Laplace 变换通常对时间变量进行. 有关性质见第八章.

Fourier 变换

F\qty(k)=12π∫−∞∞f\qty(x)e−ikx\ddx,f\qty(x)=12π∫−∞∞F\qty(k)eikx\ddk. \begin{gather*} F\qty(k) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f\qty(x) e^{- i k x} \dd{x}, \\ f\qty(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F\qty(k) e^{i k x} \dd{k}. \end{gather*}

通常适用于无界空间. 此外, 也还有半无界空间的 Fourier 变换 (即正弦变换或余弦变换) 与有限 Fourier 变换.

采用积分变换法求解偏微分方程定解问题, 一般情形下可减少自变量的数目. 可以将偏微分方程变成常微分方程, 甚至代数方程来求解. 这种解法的优点是无须区别方程及边界条件齐次或非齐次. 还有一个很大的优点是, 一些具有奇异性质的函数, 例如阶跃函数、δ\delta 函数, 通过积分变换后, 变成连续函数, 易于处理.