第十三章 正交曲面坐标系

正交曲面坐标系中的问分算符表达式

设正交曲面坐标系的三个坐标为 $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$, 其孤元 $\dd s$ 为

$$\dd{s}^2 = \sum_{i = 1}^3 H_i^2 \dd{\xi_i}^2, \nonumber$$

其中 $H_i$ 是此正交曲面坐标系的度规, 一般是 $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$ 的函数. 它可以通过直角坐标与正交曲面坐标之间的关系算出

$$H_i^2 = \qty(\pdv{x}{\xi_i})^2 + \qty(\pdv{y}{\xi_i})^2 + \qty(\pdv{z}{\xi_i})^2 \qc i = 1, 2, 3. \nonumber$$

在球坐标系中,

$$\begin{align*} & \xi_1 = r, & & \xi_2 = \theta, & & \xi_3 = \phi, \\ & \dd s_1 = \dd r, & & \dd s_2 = r \dd\theta, & & \dd s_3 = r \sin\theta \dd\phi, \\ & H_1 = 1, & & H_2 = r, & & H_3 = r \sin\theta. \end{align*}$$

在柱坐标系中,

$$\begin{align*} & \xi_1 = r, & & \xi_2 = \phi, & & \xi_3 = z, \\ & \dd s_1 = \dd r, & & \dd s_2 = r \dd\phi, & & \dd s_3 = \dd z, \\ & H_1 = 1, & & H_2 = r, & & H_3 = 1. \end{align*}$$

标量函数 $u$ 的梯度

一般正交曲面坐标系中标量函数 $u\qty(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$ 的梯度

$$\grad{u} = \qty(\frac{1}{H_1} \pdv{u}{\xi_1}, \frac{1}{H_2} \pdv{u}{\xi_2}, \frac{1}{H_3} \pdv{u}{\xi_3}). \tag{1} \label{eq-13-1}$$

球坐标系中标量函数 $u\qty(r, \theta, \phi)$ 的梯度

$$\grad{u} = \qty(\pdv{u}{r}, \frac{1}{r} \pdv{u}{\theta}, \frac{1}{r \sin\theta} \pdv{u}{\phi}). \nonumber$$

柱坐标系中标量函数 $u\qty(r, \phi, z)$ 的梯度

$$\grad{u} = \qty(\pdv{u}{r}, \frac{1}{r} \pdv{u}{\phi}, \pdv{u}{z}). \nonumber$$

矢量函数 $\vb*{A}$ 的散度

一般正交曲面坐标系中矢量函数 $\vb*{A}\qty(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$ 的散度

$$\begin{equation} \div\vb*{A} = \frac{1}{H_1 H_1 H_3} \sum_{i = 1}^3 \pdv{\xi_i}(\frac{H_1 H_2 H_3}{H_i} A_i) \tag{2} \label{eq-13-2} \end{equation}$$

球坐标系中适量函数 $\vb*{A}\qty(r, \theta, \phi)$ 的散度

$$\div\vb*{A} = \frac{1}{r^2} \pdv{r}(r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin\theta} \pdv{\theta}(\sin\theta A_{\theta}) + \frac{1}{r \sin\theta} \pdv{A_{\phi}}{\phi}. \nonumber$$

柱坐标系中适量函数 $\vb*{A}\qty(r, \phi, z)$ 的散度

$$\div\vb*{A} = \frac{1}{r} \pdv{r}(r A_r) + \frac{1}{r} \pdv{A_{\phi}}{\phi} + \pdv{A_z}{z}. \nonumber$$

矢量函数 $\vb*{A}$ 的旋度

一般正交曲面坐标系中矢量函数 $\vb*{A}\qty(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$ 的旋度

作用于标量函数 $u$ 的 Laplace 算符

可由 $\laplacian{u} = \div\grad{u}$ 得到.

球坐标系中标量函数 $u\qty(r, \theta, \phi)$ 的 Laplace 算符

$$\laplacian{u} = \frac{1}{r^2} \pdv{r}(r^2 \pdv{u}{r}) + \frac{1}{r \sin\theta} \pdv{\theta}(\sin\theta \pdv{u}{\theta}) + \frac{1}{r^2 \sin[2]{\theta}} \pdv[2]{u}{\phi}. \nonumber$$

柱坐标系中标量函数 $u\qty(r, \phi, z)$ 的 Laplace 算符

$$\laplacian{u} = \frac{1}{r} \pdv{r}(r \pdv{u}{r}) + \frac{1}{r^2} \pdv[2]{u}{\phi} + \pdv[2]{u}{z}. \nonumber$$

作用于矢量函数 $\vb*{A}$ 的拉普拉斯算符

Laplace 算符的不变性

在常用的坐标变换下, 包括有线性变换 (如平移变换), 正交变换 (如空间转动) 及空间反射 ($\vb*{r}' = -\vb*{r}$) 等, Laplace 算符具有不变性,

$$\pdv[2]{x'} + \pdv[2]{y'} + \pdv[2]{z'} = \pdv[2]{x} + \pdv[2]{y} + \pdv[2]{z}. \nonumber$$

Helmholtz 方程 $\laplacian{u} + k^2 u = 0$ 在球坐标和柱坐标中分离变量

球坐标系中 Helmholtz 方程为

$$\frac{1}{r^2} \pdv{r}(r^2 \pdv{u}{r}) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \pdv{\theta}(\sin\theta \pdv{u}{\theta}) + \frac{1}{r^2 \sin[2]{\theta}} \pdv[2]{u}{\phi} + k^2 u = 0, \nonumber$$

令 $u\qty(r, \theta, \phi) = R\qty(r) \Theta\qty(\theta) \Phi\qty(\phi)$, 则可分离出方程

$$\frac{1}{r^2} \dv{r}(r^2 \dv{R}{r}) + \qty(k^2 - \frac{\mu}{r^2}) R = 0, \\ \frac{1}{\sin\theta} \dv{\theta}(\sin\theta \dv{\Theta}{\theta}) + \qty(\mu - \frac{m^2}{\sin[2]{\theta}}) \Theta = 0, \\ \Phi'' + m^2 \Phi = 0. \nonumber$$

第一个方程可化为 Bessel 方程, 当 $k = 0$ 时, 它是 Euler 型方程, 第二个方程称为连带 Legendre 方程.

柱坐标系中 Helmholtz 方程为

$$\frac{1}{r} \pdv{r}(r \pdv{u}{r}) + \frac{1}{r^2} \pdv[2]{u}{\phi} + \pdv[2]{u}{z} + k^2 u = 0. \nonumber$$

令 $u\qty(r, \phi, z) = R\qty(r) \Phi\qty(\phi) Z\qty(z)$, 则可分离出方程

$$\frac{1}{r} \dv{r}(r \dv{R}{r}) + \qty(k^2 - \mu - \frac{m^2}{r^2}) R = 0, \\ \Phi'' + m^2 \Phi = 0, \\ Z'' + \mu Z = 0, \nonumber$$

第一个方程可化为 Bessel 方程, 当 $k^2 - \mu = 0$ 时, 退化为 Euler 型方程.

应用中的几个问题

在应用中常涉及特殊函数问题

将在以下几章中讨论, 这里略去.

在圆内第一类边值问题 (圆内 Dirichlet 问题) 中

由周期边界条件构成本征值问题

$$\Phi''\qty(\phi) + \nu \Phi\qty(\phi) = 0 \qc \phi \in \qty(0, 2 \pi), \\ \Phi\qty(0) = \Phi\qty(2 \pi) \qc \Phi'\qty(0) = \Phi'\qty(2 \pi). \nonumber$$

对本征值 $\nu_0 = 0$, 本征函数

$$\Phi_0\qty(\phi) = 1; \nonumber$$

对本征值 $\nu_m = m^2$ ($m \neq 0$), 本征函数是二重简并的

$$\Phi_m\qty(\phi) = \begin{cases} \sin{m \phi}, \\ \cos{m \phi}, \end{cases} \quad m = 1, 2, 3, \dots \nonumber$$

或

$$\Phi_m\qty(\phi) = e^{i m \phi} \qc m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots. \nonumber$$

本征函数的这两种取法, 不仅不同本征值的本征函数相互正交, 而且两个简并本征函数之间也是正交的.