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第十二章 分离变量法

Course NotesMathematical Physics EquationsAbout 5 minAbout 1600 words

对含时间的 nn 维空间的齐次问题

这里指的是 齐次方程 与 齐次边界条件 问题, 包括例如二维或三维热传导问题和波动问题. 偏微分方程是齐次的, 在空间 nn 个方向上的边界条件也都是齐次的, 它们可以是: 一、二、三类边界条件; 周期条件; 有界条件等.

求解含时间的 nn 维空间齐次问题的主要步骤:

分离变量

用乘积形式的特解代入齐次偏微分方程和齐次边界条件, 分离出 nn 个关于空间变量的常微分方程和一个关于时间变量的常微分方程, 以及 nn 对齐次边界条件;

n+1n + 1 个常微分方程中含有 nn 个待定参数;

求解本征值问题

nn 个关于空间的常微分方程与各自相应的齐次边界条件构成 nn 个本征值问题. 求出所有 nn 组本征值和本征函数;

求特解并叠加成一般解

把本征值代入关于时间变量的常微分方程中, 求时间函数的通解; 将 nn 个本征函数与时间函数连乘起来构成 (满足齐次偏微分方程和齐次边界条件的特解; 将所有特解叠加成一般解, 它是一个 nn 重求和的级数.

确定叠加系数

将一般解代入初值条件, 利用本征函数的正交完备性确定叠加系数而得解.

稳定的 nn 维空间齐次问题由一个有 nn 个变数的齐次偏微分方程, n−1n - 1 组齐次边界条件构成的定解问题. 应能分出 n−1n - 1 个本征值问题, 剩余一个非齐次边界条件用来定系数. 求解步骤与上基本相同.

原则上可以令未知函数为 nn 个函数之和, 每一个函数满足的定解问题都是由齐次方程及 n−1n - 1 对齐次边界条件构成.

对非齐次方程、齐次边界条件问题的求解方法

用相应齐次问题的本征函数展开的方法

将解与非齐次项按相应齐次问题的本征函数展开 (包括按多个本征函数的多重展开), 代入方程后比较系数, 得到展开的系数函数所满足的非齐次常微分方程. 解此方程即可得解.

求特解的方法

注意此特解不仅需满足非齐次方程, 还必须满足齐次边界条件.

边界条件为非齐次时, 定解问题的求解方法

在任何情况下, 都必须首先将边界条件齐次化. 边界条件齐次化后, 一般余下一个非齐次方程的问题.

如有可能, 将方程和边界条件同时齐次化, 即选择齐次化函数也是偏微分方程的解, 那么就余下一个齐次定解问题.

对于二维、三维乃至 nn 维空间内的波动方程或热传导方程定解问题, 如果有不止一对非齐次边界条件, 可以通过分拆为几个定解问题, 使得每个定解问题中只有一对非齐次边界条件.

本征值问题

本征值问题是分离变量法的核心问题. 本征函数的正交完备性为分离变量法提供了理论基础. 在实际操作上, 不论是齐次问题中将相应于不同本征函数的特解叠加成一般解, 还是将非齐次方程的解用本征函数展开, 确定叠加系数 (展开系数), 都取决于本征函数的基本性质 (详见第十六章).

以两端固定弦的自由振动为例, 纠正集中错误说法和概念

\pdv[2]ut−a2\pdv[2]ux=0,0<x<l, t>0,\labeleq−12−1a\evalux=0=0,\evalux=l=0,t⩾0,\labeleq−12−1b\evalut=0=ϕ\qty(x),\eval\pdvutt=0=ψ\qty(x),0⩽x⩽l.\labeleq−12−1c \begin{align} & \pdv[2]{u}{t} - a^2 \pdv[2]{u}{x} = 0, & & & & 0 < x < l, ~ t > 0, \tag{1a} \label{eq-12-1a} \\ & \eval{u}_{x = 0} = 0, & & \eval{u}_{x = l} = 0, & & t \geqslant 0, \tag{1b} \label{eq-12-1b} \\ & \eval{u}_{t = 0} = \phi\qty(x), & & \eval{\pdv{u}{t}}_{t = 0} = \psi\qty(x), & & 0 \leqslant x \leqslant l. \tag{1c} \label{eq-12-1c} \end{align}

定解问题 \eqrefeq−12−1a\eqref{eq-12-1a}, \eqrefeq−12−1b\eqref{eq-12-1b}, \eqrefeq−12−1c\eqref{eq-12-1c} 的特解为

un\qty(x,t)=sin⁡nπlx\qty(Ansin⁡nπlat+Bncos⁡nπlat). u_n\qty(x,t) = \sin\frac{n \pi}{l} x \qty(A_n \sin\frac{n \pi}{l} a t + B_n \cos\frac{n \pi}{l} a t). \nonumber

类似的说法还有: 定解问题 \eqrefeq−12−1a\eqref{eq-12-1a}, \eqrefeq−12−1b\eqref{eq-12-1b}, \eqrefeq−12−1c\eqref{eq-12-1c} 的特解有无穷多个, un\qty(x,t)u_n\qty(x, t), n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots.

这类说法的错误在于: un\qty(x,t)u_n\qty(x, t) 只满足齐次偏微分方程 \eqrefeq−12−1a\eqref{eq-12-1a} 和齐次边界条件 \eqrefeq−12−1b\eqref{eq-12-1b}, 并不满足初始条件 \eqrefeq−12−1c\eqref{eq-12-1c}. 所以, 正确的说法是: un\qty(x,t)u_n\qty(x, t) 是满足其次偏微分方程 \eqrefeq−12−1a\eqref{eq-12-1a} 和齐次边界条件 \eqrefeq−12−1b\eqref{eq-12-1b} 的特解.

换一个角度说, 作为定解问题, 只要它是适定的, 那就只有唯一的一个解, 不存在特解和通解.

定解问题 \eqrefeq−12−1a\eqref{eq-12-1a}, \eqrefeq−12−1b\eqref{eq-12-1b}, \eqrefeq−12−1c\eqref{eq-12-1c} 的通解为

u\qty(x,t)=∑n=1∞sin⁡nπlx\qty(Ansin⁡nπlat+Bncos⁡nπlat)c\labeleq−12−2 \begin{equation} u\qty(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \sin\frac{n \pi}{l} x \qty(A_n \sin\frac{n \pi}{l} a t + B_n \cos\frac{n \pi}{l} a t) c\tag{2} \label{eq-12-2} \end{equation}

这种说法的错误和上面的第 1 种说法类似. 正确的说法是: \eqrefeq−12−2\eqref{eq-12-2} 式是满足齐次偏微分方程 \eqrefeq−12−1a\eqref{eq-12-1a} 和齐次边界条件 \eqrefeq−12−1b\eqref{eq-12-1b} 的一般解. 注意, 这里称为一般解而非通解.

而且, 更严格说, 这样的级数解只是形式解, 只有级数收敛, 并且能逐项求导两次, 才是满足 \eqrefeq−12−1a\eqref{eq-12-1a} 和 \eqrefeq−12−1b\eqref{eq-12-1b} 的一般解.

从概念上说, 通解的说法, 只适用于常微分方程和偏微分方程. 对于二阶线性齐次常微分方程, 它的特解一定含有两个叠加常数. 对于二阶线性齐次偏微分方程, 如果它的通解存在的话, 一定含有两个任意函数.