Skip to main content

第十五章 柱函数

Course NotesMathematical Physics EquationsAbout 7 minAbout 2222 words

Bessel 方程的来源

Helmholtz 方程在柱坐标系下分离变量, 可得

1r\dvr(r\dvRr)+\qty(λ−ν2r2)R=0,\labeleq−15−1 \begin{equation} \frac{1}{r} \dv{r}(r \dv{R}{r}) + \qty(\lambda - \frac{\nu^2}{r^2}) R = 0, \tag{1} \label{eq-15-1} \end{equation}

当 λ≠0\lambda \neq 0 时, 做变换 x=λrx = \sqrt{\lambda} r, y\qty(x)=R\qty(r)y\qty(x) = R\qty(r), 即可化为 Bessel 方程

1x\dvx(x\dvyx)+\qty(1−ν2x2)y=0.\labeleq−15−2 \begin{equation} \frac{1}{x} \dv{x}(x \dv{y}{x}) + \qty(1 - \frac{\nu^2}{x^2}) y = 0. \tag{2} \label{eq-15-2} \end{equation}

不妨假设 ℜν⩾0\Re{\nu} \geqslant 0. 在通常情形下 ν\nu 为整数或半奇数, 此时更可设 ν⩾0\nu \geqslant 0.

Bessel 方程的解有

J±ν\qty(x)=∑k=0∞\qty(−1)kk!Γ\qty(k±ν+1)\qty(x2)2k±ν,\labeleq−15−3aNν\qty(x)=cos⁡νπJν\qty(x)−J−ν\qty(x)sin⁡\qty(νπ),\labeleq−15−3bHν\qty(1)\qty(x)≡Jν\qty(x)+iNν\qty(x),\labeleq−15−3cHν\qty(2)\qty(x)≡Jν\qty(x)−iNν\qty(x),\labeleq−15−3d \begin{align} \mathrm{J}_{\pm\nu}\qty(x) & = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\qty(-1)^k}{k! \Gamma\qty(k \pm \nu + 1)} \qty(\frac{x}{2})^{2 k \pm \nu}, \tag{3a} \label{eq-15-3a} \\ \mathrm{N}_{\nu}\qty(x) & = \frac{\cos{\nu \pi} \mathrm{J}_{\nu}\qty(x) - \mathrm{J}_{-\nu}\qty(x)}{\sin\qty(\nu\pi)}, \tag{3b} \label{eq-15-3b} \\ \mathrm{H}_{\nu}^{\qty(1)}\qty(x) & \equiv \mathrm{J}_{\nu}\qty(x) + i \mathrm{N}_{\nu}\qty(x), \tag{3c} \label{eq-15-3c} \\ \mathrm{H}_{\nu}^{\qty(2)}\qty(x) & \equiv \mathrm{J}_{\nu}\qty(x) - i \mathrm{N}_{\nu}\qty(x), \tag{3d} \label{eq-15-3d} \end{align}

当 ν≠\nu \neq 整数时, Jν\qty(x)\mathrm{J}_{\nu}\qty(x), J−ν\qty(x)\mathrm{J}_{-\nu}\qty(x), Nν\qty(x)\mathrm{N}_{\nu}\qty(x) 两两线性无关, 故 Bessel 方程的通解可取为

y\qty(x)=c1Jν\qty(x)+c2J−ν\qty(x)\qory\qty(x)=c1Jν\qty(x)+c2Nν\qty(x). y\qty(x) = c_1 \mathrm{J}_{\nu}\qty(x) + c_2 \mathrm{J}_{-\nu}\qty(x) \qor y\qty(x) = c_1 \mathrm{J}_{\nu}\qty(x) + c_2 \mathrm{N}_{\nu}\qty(x). \nonumber

当 ν=\nu = 整数 nn 时, Jn\qty(x)\mathrm{J}_n\qty(x) 与 J−n\qty(x)\mathrm{J}_{-n}\qty(x) 线性相关,

J−n\qty(x)=\qty(−1)nJn\qty(x). \mathrm{J}_{-n}\qty(x) = \qty(-1)^n \mathrm{J}_n\qty(x). \nonumber

故 Bessel 方程的通解须取为

y\qty(x)=c1Jn\qty(x)+c2Nn\qty(x), y\qty(x) = c_1 \mathrm{J}_n\qty(x) + c_2 \mathrm{N}_n\qty(x), \nonumber

其中

\begin{eqnarray} \mathrm{N}_n\qty(x) & = & \lim_{\nu \to n} \mathrm{N}_{\nu}\qty(x) \nonumber \\ & = & \frac{2}{\pi} \mathrm{J}_n\qty(x) \ln\frac{x}{2} - \frac{1}{\pi} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{\qty(n - k - 1)!}{k!} \qty(\frac{x}{2})^{2 k - n} \nonumber \\ & & - \frac{1}{\pi} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\qty(-1)^k}{k! \qty(n + k)!} \qty(\frac{x}{2})^{2 k + n} \qty[\Psi\qty(n + k + 1) + \Psi\qty(k + 1)]. \tag{4} \label{eq-15-4} \end{eqnarray}

柱函数

凡满足递推关系

\dvx\qty[xνCν\qty(x)]=xνCν−1\qty(x),\labeleq−15−5a\dvx\qty[x−νCν\qty(x)]=−x−νCν+1\qty(x)\labeleq−15−5b \begin{align} & \dv{x}\qty[x^{\nu} C_{\nu}\qty(x)] = x^{\nu} C_{\nu - 1}\qty(x), \tag{5a} \label{eq-15-5a} \\ & \dv{x}\qty[x^{-\nu} C_{\nu}\qty(x)] = - x^{-\nu} C_{\nu + 1}\qty(x) \tag{5b} \label{eq-15-5b} \end{align}

的函数 \qtyCν\qty(x)\qty{C_{\nu}\qty(x)} 统称为柱函数. Bessel 函数是第一类柱函数, Neumann 函数是第二类柱函数, Hankel 函数则是第三类柱函数.

柱函数一定是 Bessel 方程的解.

由 Bessel 方程及柱函数的递推关系, 当 ℜv⩾0\Re{v} \geqslant 0 时可求得

∫xCν2\qty(x)x\ddx=12x2\qty[Cν2\qty(x)+Cν+12\qty(x)]−νxCν\qty(x)Cν+1\qty(x)=12x2\qty[Cν2\qty(x)+Cν′2\qty(x)]−12ν2Cν2\qty(x).\labeleq−15−6 \begin{equation} \begin{split} \int^x C_{\nu}^2\qty(x) x \dd{x} & = \frac{1}{2} x^2 \qty[C_{\nu}^2\qty(x) + C_{\nu + 1}^2\qty(x)] - \nu x C_{\nu}\qty(x) C_{\nu + 1}\qty(x) \\ & = \frac{1}{2} x^2 \qty[C_{\nu}^2\qty(x) + C_{\nu}'^2\qty(x)] - \frac{1}{2} \nu^2 C_{\nu}^2\qty(x). \end{split} \tag{6} \label{eq-15-6} \end{equation}

此结果可用于计算本征函数为柱函数时的模方.

整数阶 Bessel 函数的生成函数和积分表示

exp⁡\bqtyx2(t−1t)=∑n=−∞∞Jn(x)tn,0<\vqtyt<∞,\labeleq−15−7Jn(x)=1π∫0πcos⁡(xsin⁡θ−nθ)\ddθ.\labeleq−15−8 \begin{gather} \exp\bqty{\frac{x}{2} \pqty{t - \frac{1}{t}}} = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \mathrm{J}_n\pqty{x} t^n \qc 0 < \vqty{t} < \infty, \tag{7} \label{eq-15-7} \\ \mathrm{J}_n\pqty{x} = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos(x \sin\theta - n \theta) \dd{\theta}. \tag{8} \label{eq-15-8} \end{gather}

柱函数的渐近展开

当 x→0x \to 0 时,

Jν\qty(x)∼1Γ\qty(ν+1)\qty(x2)ν,\labeleq−15−9aNν\qty(x)∼−Γ\qty(ν)π\qty(x2)−ν,\labeleq−15−9bN0\qty(x)∼2πln⁡x2.\labeleq−15−9c \begin{align} \mathrm{J}_{\nu}\qty(x) & \sim \frac{1}{\Gamma\qty(\nu + 1)} \qty(\frac{x}{2})^{\nu}, \tag{9a} \label{eq-15-9a} \\ \mathrm{N}_{\nu}\qty(x) & \sim - \frac{\Gamma\qty(\nu)}{\pi} \qty(\frac{x}{2})^{-\nu}, \tag{9b} \label{eq-15-9b} \\ \mathrm{N}_0\qty(x) & \sim \frac{2}{\pi} \ln\frac{x}{2}. \tag{9c} \label{eq-15-9c} \end{align}

当 x→∞x \to \infty 时,

Jν(x)∼2πxcos⁡(x−νπ2−π4),\vqtyarg⁡x<π,\labeleq−15−10aNν(x)∼2πxsin⁡(x−νπ2−π4),\vqtyarg⁡x<π.\labeleq−15−10b \begin{align} \mathrm{J}_{\nu}\pqty{x} & \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos(x - \frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4}), & \vqty{\arg{x}} & < \pi, \tag{10a} \label{eq-15-10a} \\ \mathrm{N}_{\nu}\pqty{x} & \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin(x - \frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4}), & \vqty{\arg{x}} & < \pi. \tag{10b} \label{eq-15-10b} \end{align}

在此基础上, 可进一步推出 Hankel 函数的渐近展开.

Bessel 方程的本征值问题

因为方程 \eqrefeq−15−1\eqref{eq-15-1} 经适当变换后即可化为 Bessel 方程 \eqrefeq−15−2\eqref{eq-15-2}, 故方程 \eqrefeq−15−1\eqref{eq-15-1} 配以适当的边界条件即构成 Bessel 方程的本征值问题. 常见的有下列两种类型:

柱内问题

此时边界条件为

R\qty(0) 有界,\qty[αR\qty(r)+β\dvR\qty(r)r]r=a=0. \begin{align*} & R\qty(0) ~ \text{有界}, \\ & \qty[\alpha R\qty(r) + \beta \dv{R\qty(r)}{r}]_{r = a} = 0. \end{align*}

解之可得本征值 λi\lambda_i 是超越方程

αJν\qty(λa)+βλJν′\qty(λa)=0 \alpha \mathrm{J}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda} a) + \beta \sqrt{\lambda} \mathrm{J}_{\nu}'\qty(\sqrt{\lambda} a) = 0 \nonumber

的第 ii 个正根, i=1,2,3,…i = 1, 2, 3, \dots, 本征函数为

Ri\qty(r)=Jν\qty(λir). R_i\qty(r) = \mathrm{J}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda_i} r). \nonumber

此本征函数组是区间 \comm0a\comm{0}{a} 上的正交完备函数组, 权函数为 rr.

空心柱体内的定解问题

此时边界条件为

\qty[α1R\qty(r)+β1\dvR\qty(r)r]r=a=0.\qty[α2R\qty(r)+β2\dvR\qty(r)r]r=b=0. \begin{align*} & \qty[\alpha_1 R\qty(r) + \beta_1 \dv{R\qty(r)}{r}]_{r = a} = 0. \\ & \qty[\alpha_2 R\qty(r) + \beta_2 \dv{R\qty(r)}{r}]_{r = b} = 0. \end{align*}

解之可得本征值 λi\lambda_i 是超越方程

∣α1Jν\qty(λa)+β1λJν′\qty(λa)α1Nν\qty(λa)+β1λNν′\qty(λa)α2Jν\qty(λb)+β2λJν′\qty(λb)α2Nν\qty(λb)+β2λNν′\qty(λb)∣=0 \begin{vmatrix} \alpha_1 \mathrm{J}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda} a) + \beta_1 \sqrt{\lambda} \mathrm{J}_{\nu}'\qty(\sqrt{\lambda} a) & \alpha_1 \mathrm{N}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda} a) + \beta_1 \sqrt{\lambda} \mathrm{N}_{\nu}'\qty(\sqrt{\lambda} a) \\ \alpha_2 \mathrm{J}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda} b) + \beta_2 \sqrt{\lambda} \mathrm{J}_{\nu}'\qty(\sqrt{\lambda} b) & \alpha_2 \mathrm{N}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda} b) + \beta_2 \sqrt{\lambda} \mathrm{N}_{\nu}'\qty(\sqrt{\lambda} b) \end{vmatrix} = 0 \nonumber

的第 ii 个正根, i=1,2,3,…i = 1, 2, 3, \dots, 本征函数为

\begin{eqnarray*} R_i\qty(r) & = & \qty[\alpha_1 \mathrm{N}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda_i} a) + \beta_1 \sqrt{\lambda_i} \mathrm{N}_{\nu}'\qty(\sqrt{\lambda_i} a)] \mathrm{J}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda_i} r) \\ & & - \qty[\alpha_1 \mathrm{J}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda_i} a) + \beta_1 \sqrt{\lambda_i} \mathrm{J}_{\nu}'\qty(\sqrt{\lambda_i} a)] \mathrm{N}_{\nu}\qty(\sqrt{\lambda_i} r). \end{eqnarray*}

此本征函数组是区间 \commab\comm{a}{b} 上的正交完备函数组, 权函数仍为 rr.

虚宗量 Bessel 函数

Iν\qty(x)≡e−iνπ/2Jν\qty(xeiπ/2)=∑k=0∞1k!Γ\qty(k+ν+1)\qty(x2)2k+ν,\labeleq−15−11aKν\qty(x)=π2sin⁡νπ\qty[I−ν\qty(x)−Iν\qty(x)],\labeleq−15−11b \begin{align} & \mathrm{I}_{\nu}\qty(x) \equiv e^{- i \nu \pi / 2} \mathrm{J}_{\nu}\qty(x e^{i \pi / 2}) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k! \Gamma\qty(k + \nu + 1)} \qty(\frac{x}{2})^{2 k + \nu}, \tag{11a} \label{eq-15-11a} \\ & \mathrm{K}_{\nu}\qty(x) = \frac{\pi}{2 \sin{\nu \pi}} \qty[I_{-\nu}\qty(x) - I_{\nu}\qty(x)], \tag{11b} \label{eq-15-11b} \end{align}

它们是虚宗量 Bessel 方程

1x\dvx(x\dvyx)−\qty(1+m2x2)y=0 \frac{1}{x} \dv{x}(x \dv{y}{x}) - \qty(1 + \frac{m^2}{x^2}) y = 0 \nonumber

的解. 仍不妨假设 ℜv⩾0\Re{v} \geqslant 0.

渐进行为

当 x→0x \to 0 时,

Iν\qty(x) 有界,Kν\qty(x) 无界.\labeleq−15−12a \begin{equation} \mathrm{I}_{\nu}\qty(x) ~ \text{有界} \qc \mathrm{K}_{\nu}\qty(x) ~ \text{无界}. \tag{12a} \label{eq-15-12a} \end{equation}

当 x→∞x \to \infty 时,

Iν\qty(x)∼12πxex,Kν\qty(x)∼π2xe−x.\labeleq−15−12b \begin{equation} \mathrm{I}_{\nu}\qty(x) \sim \sqrt{\frac{1}{2 \pi x}} e^x \qc \mathrm{K}_{\nu}\qty(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2 x}} e^{-x}. \tag{12b} \label{eq-15-12b} \end{equation}

半奇数阶 Bessel 函数

x−n+1/2J−n+1/2\qty(x)=\qty(1x\dvx)n2πsin⁡x,\labeleq−15−13ax−n−1/2Jn+1/2\qty(x)=\qty(−1x\dvx)n2πsin⁡xx.\labeleq−15−13b \begin{align} & x^{- n + 1 / 2} \mathrm{J}_{- n + 1 / 2}\qty(x) = \qty(\frac{1}{x} \dv{x})^n \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin x, \tag{13a} \label{eq-15-13a} \\ & x^{- n - 1 / 2} \mathrm{J}_{n + 1 / 2}\qty(x) = \qty(- \frac{1}{x} \dv{x})^n \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin x}{x}. \tag{13b} \label{eq-15-13b} \end{align}

半奇数阶 Bessel 函数都是初等函数, 都是幂函数和三角函数的复合函数.

球 Bessel 函数

jl\qty(x)=π2xJl+1/2\qty(x)=π2∑n=0∞\qty(−1)nn!Γ\qty(n+l+32)\qty(x2)2n+l,\labeleq−15−14anl\qty(x)=\qty(−1)l+1j−l−1\qty(x)=π2xNl+1/2\qty(x)\labeleq−15−14b=\qty(−1)l+1π2∑n=0∞\qty(−1)nn!Γ\qty(n−l+12)\qty(x2)2n−l−1,\labeleq−15−14c \begin{align} \mathrm{j}_l\qty(x) & = \sqrt{\frac{\pi}{2 x}} \mathrm{J}_{l + 1 / 2}\qty(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\qty(-1)^n}{n! \Gamma\qty(n + l + \frac{3}{2})} \qty(\frac{x}{2})^{2 n + l}, \tag{14a} \label{eq-15-14a} \\ \mathrm{n}_l\qty(x) & = \qty(-1)^{l + 1} \mathrm{j}_{- l - 1}\qty(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2 x}} \mathrm{N}_{l + 1 / 2}\qty(x) \tag{14b} \label{eq-15-14b} \\ & = \qty(-1)^{l + 1} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\qty(-1)^n}{n! \Gamma\qty(n - l + \frac{1}{2})} \qty(\frac{x}{2})^{2 n - l - 1}, \tag{14c} \label{eq-15-14c} \end{align}

分别为 ll 阶球 Bessel 函数和球 Neumann 函数. 它们是球 Bessel 方程

1x2\dvx(x2\dvyx)+\qty[1−l\qty(l+1)x2]y\qty(x)=0 \frac{1}{x^2} \dv{x}(x^2 \dv{y}{x}) + \qty[1 - \frac{l \qty(l + 1)}{x^2}] y\qty(x) = 0 \nonumber

的解. 由球 Bessel 函数和球 Neumann 函数还可以定义球 Hankel 函数,

hl\qty(1)=jl\qty(x)+inl\qty(x),\labeleq−15−15ahl\qty(2)=jl\qty(x)−inl\qty(x).\labeleq−15−15b \begin{align} \mathrm{h}_l^{\qty(1)} & = \mathrm{j}_l\qty(x) + i \mathrm{n}_l\qty(x), \tag{15a} \label{eq-15-15a} \\ \mathrm{h}_l^{\qty(2)} & = \mathrm{j}_l\qty(x) - i \mathrm{n}_l\qty(x). \tag{15b} \label{eq-15-15b} \end{align}

Helmholtz 方程在球坐标系下分离变量得到的径向方程可以化为球 Bessel 方程.

平面波按柱面波展开

eikrcos⁡θ=J0\qty(kr)+2∑n=1∞inJn\qty(kr)cos⁡nθ,\labeleq−15−16 \begin{equation} e^{i k r \cos\theta} = \mathrm{J}_0\qty(k r) + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} i^n \mathrm{J}_n\qty(k r) \cos{n \theta}, \tag{16} \label{eq-15-16} \end{equation}

其中 rr, θ\theta 均为柱坐标系中的坐标变量, 此平面波沿 xx 方向传播.

平面波按球面波展开

eikrcos⁡θ=∑l=0∞\qty(2l+1)iljl\qty(kr)Pl\qty(cos⁡θ),\labeleq−15−17 \begin{equation} e^{i k r \cos\theta} = \sum_{l = 0}^{\infty} \qty(2 l + 1) i^l \mathrm{j}_l\qty(k r) \mathrm{P}_l\qty(\cos\theta), \tag{17} \label{eq-15-17} \end{equation}

其中 rr, θ\theta 均为球坐标系中的坐标变量, 次平面波沿 zz 方向传播.