第十六章 分离变量法总结

伴算符与自伴算符

1.

设 $\hat{L}$ 和 $\hat{M}$ 为定义在一定函数空间内的线性 (微分) 算符, 若对于该函数空间内的任意函数 $u$ 和 $v$, 恒有

$$\begin{equation} \qty(v, \hat{L} u) = \qty(\hat{M} v, u) \qq{即} \int_a^b v^* \hat{L} u \dd{x} = \int_a^b \qty(\hat{M} v)^* u \dd{x}, \tag{1} \label{eq-16-1} \end{equation}$$

则称 $\hat{M}$ 是 $\hat{L}$ 的 伴算符.

反之, $\hat{L}$ 也是 $\hat{M}$ 的伴算符.

2.

若算符 $\hat{L}$ 的伴算符就是自身, 则称 $\hat{L}$ 是 自伴算符. 这是有

$$\begin{equation} \qty(v, \hat{L} u) = \qty(\hat{L} v, u) \qq{即} \int_a^b v^* \hat{L} u \dd{x} = \int_a^b \qty(\hat{L} v)^* u \dd{x}. \tag{2} \label{eq-16-2} \end{equation}$$

自伴算符本征值问题的基本性质

前提是自伴算符的本粧值问题是否有解?

需要区别正则的与奇异的两种情形: 如果算符的定义域是无界或半无界区间, 或者区间的端点是方程的奇点, 则此本征值问题是奇异的, 否则就属于正则的本征值问题.

在可分的 Hilbert 空间内, 正则的自律算符本征值问题一定有解, 而且本征值是离散的 (因而构成可数集).

对于奇异的自伴算符, 其本征值问题则不一定有解, 即使有解, 也可能是连续谱, 或者离散谱与连续谱二者兼而有之.

在自伴算符本征值问题有解的前提下, 求得的本征值与本征函数具有下列性质:

(1)

自伴算符的本征值必为实数.

(2)

自伴算符的本征函数具有正交性, 即对应不同本征值的本征函数一定正交.

(3)

自伴算符的本征函数 (的全体) 构成一个完备函数组, 即任意一个在区间 $\comm{a}{b}$ 中有连续二阶导数, 旦满足和自伴算符 $\hat{L}$ 相同的边界条件的函数 $f\qty(x)$, 均可按本征函数 $\qty{y_n\qty(x)}$ 展开为绝对而且一致收敛的级数

$$\begin{equation} f\qty(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_n y_n\qty(x), \tag{3a} \label{eq-16-3a} \end{equation}$$

其中

$$\begin{equation} c_n = \frac{\int_a^b f\qty(x) y_n^*\qty(x) \dd x}{\int_a^b y_n\qty(x) y_n^*\qty(x) \dd x}. \tag{3b} \label{eq-16-3b} \end{equation}$$

上述展开条件还可以放宽为: 对于在 $\comm{a}{b}$ 中平方可积的任意函数, $\eqref{eq-16-3a}$ 在平均收敛

$$\begin{equation} \lim_{N \to \infty} \int_a^b \abs{f\qty(x) - \sum_{n = 1}^N c_n y_n\qty(x)}^2 \dd x = 0 \tag{3c} \label{eq-16-3c} \end{equation}$$

的意义下仍然成立, 其展开系数仍为 $\eqref{eq-16-3c}$.

Sturm – Liouville 型方程的本征值问题

1.

Sturm -– Liouville 型方程

$$\dv{x}\qty[p\qty(x) \dv{y}{x}] + \qty[\lambda \rho\qty(x) - q\qty(x)] y = 0 \qc a < x < b \nonumber$$

在边界条件

$$\eval{p\qty(x) \qty(y_1^* \dv{y_2}{x} - y_2 \dv{y_1^*}{x})}_a^b = 0 \nonumber$$

下构成自伴算符的本征值问题, 其中 $\lambda$ 为参数, $\rho\qty(x)$ 为权函数.

使此问题有非零解的 $\lambda$ 值称为本征值, 相应的非零解称为本征函数 (以下相同).

在常见的 Sturm – Liouville 型方程中, $p\qty(x)$, $q\qty(x)$ 和 $\rho\qty(x)$ 均满足以下条件:

1. $p\qty(x) \geqslant 0$, 但不恒为 0, 并且只在边界点 ($a$, 或 $b$, 或 $a$ 和 $b$) 可能为 0.
2. $\rho\qty(x) \geqslant 0$, 但不恒为 0.
3. $q\qty(x) \geqslant 0$, 且 $q\qty(x) / p \qty(x)$ 在 $\comm{a}{b}$ 中, 除 $a$, $b$ 两点可能是不超过二阶的极点外, 是实的连续函数.

Sturm – Liouville 型方程本征值问题的基本类型

与第一、二、三类边界条件构成的本征值问题

$$\begin{gather*} \dv{x}\qty[p\qty(x) \dv{y\qty(x)}{x}] + \qty[\lambda \rho\qty(x) - \qty(x)] y\qty(x) = 0 \qc x \in \qty(a, b), \\ \alpha_1 y'\qty(a) - \beta_1 y\qty(a) = 0 \qc \alpha_2 y'\qty(b) + \beta_2 y\qty(b) = 0, \end{gather*}$$

其中 $\alpha_1$, $\beta_1$, $\alpha_2$, $\beta_2$ 均为非负常数, 且 $\alpha_1$, $\beta_1$ 不同时为零, $\alpha_2$, $\beta_2$ 不同时为零.

存在有界条件时的本征值问题

例如,

$$\begin{gather*} \dv{x}\qty[p\qty(x) \dv{y\qty(x)}{x}] + \qty[\lambda \rho\qty(x) - q\qty(x)] y\qty(x) \qc x \in \qty(a, b), \\ y\qty(a) ~ \text{有界} \qc \alpha_2 y'\qty(b) + \beta_2 y\qty(b) = 0. \end{gather*}$$

出现此类本征值问题的前提条件是 $p\qty(a) = 0$, $x = a$ 是方程的正则奇点, 且方程在 $x = a$ 点有一个解是发散的, 这是需加入一个有界条件, 将此解剔除.

若 $p\qty(b) = 0$ 或 $p\qty(a) = p\qty(b) = 0$, 可做类似处理.

存在周期条件时的本征值问题

$$\begin{gather*} \dv{x}\qty[p\qty(x) \dv{y\qty(x)}{x}] + \qty[\lambda \rho\qty(x) - q\qty(x)] y\qty(x) = 0 \qc x \in \qty(a, b), \\ y\qty(a) = y\qty(b) \qc y'\qty(a) = y'\qty(b). \end{gather*}$$

出现此本征值问题的条件是 $p\qty(a) = p\qty(b)$, $q\qty(a) = q\qty(b)$, $\rho\qty(a) = \rho\qty(b)$.

几种常见的 Sturm – Liouville 型方程

$X''\qty(x) + \lambda X\qty(x)= 0$ 或 $\Phi''\qty(\phi) + \mu \Phi\qty(\phi) = 0$

在这类方程中, $p\qty(x) = 1$, $q\qty(x) = 0$, 权函数 $\rho\qty(x) = 1$, 两方程中的待定参数为 $\lambda$ 或 $\mu$.

Bessel 方程

$$\frac{1}{r} \dv{r}\qty[r \dv{R\qty(r)}{r}] + \qty(k^2 - \frac{m^2}{r^2}) R\qty(r) = 0, \nonumber$$

在此方程中, $p\qty(r) = r$, $q\qty(r) = \frac{m^2}{r}$, 权函数 $\rho\qty(r) = r$, 参数为 $k^2$.

球 Bessel 方程

$$\frac{1}{r^2} \dv{r}\qty[r^2 \dv{R\qty(r)}{r}] + \qty[k^2 - \frac{l \qty(l + 1)}{r^2}] R\qty(r) = 0, \nonumber$$

在此方程中, $p\qty(r) = r^2$, $q\qty(r) = l \qty(l + 1)$, 权函数 $\rho\qty(r) = r^2$, 参数为 $k^2$.

连带 Legendre 方程

$$\frac{1}{\sin\theta} \dv{\theta}\qty[\sin\theta \dv{\Theta\qty(\theta)}{\theta}] + \qty(\lambda - \frac{m^2}{\sin[2]{\theta}}) \Theta\qty(\theta) = 0, \nonumber$$

在此方程中, $p\qty(\theta) = \sin\theta$, $q\qty(\theta) = \frac{m^2}{\sin\theta}$, 权函数 $\rho\qty(\theta) = \sin\theta$, 参数为 $\lambda$.

做变换 $\cos\theta = x$, $\Theta\qty(\theta) = y\qty(x)$ 可得到连带 Legendre 方程的另一个标准形式

$$\dv{x}\qty[\qty(1 - x^2) \dv{y}{x}] + \qty(\lambda - \frac{m^2}{1 - x^2}) = 0, \nonumber$$

这时 $p\qty(x) = 1 - x^2$, $q\qty(x) = \frac{m^2}{1 - x^2}$, 权函数 $\rho\qty(x) = 1$, 参数仍为 $\lambda$.

Sturm – Liouville 型方程本征值问题的退化现象

在边界条件

$$\eval{p\qty(x) \qty(y_1^* \dv[2]{y_2}{x} - y_2 \dv[2]{y_1^*}{x})}_a = \eval{p\qty(x) \qty(y_1^* \dv[2]{y_2}{x} - y_2 \dv[2]{y_1^*}{x})}_b = 0 \nonumber$$

下, Sturm – Liouville 型方程

$$\dv{x}\qty[p\qty(x) \dv{y}{x}] + \qty[\lambda \rho\qty(x) - q\qty(x)] = 0 \qc a < x < b \nonumber$$

的本征值问题是非退化的, 即对应于一个本征值, 只有一个本征函数; 只在周期条件下, 对应于一个本征值, 才可能有两个本征函数; 这两个本征函数可能正交, 也可能不正交, 但是通过正交化步骤, 总可以将对应于同一本征值的两个本征函数正交化.