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第十四章 球函数

Course NotesMathematical Physics EquationsAbout 7 minAbout 2116 words

Legendre 方程和连带 Legendre 方程

Helmholtz 方程在球坐标系下分离变量, 即可得连带 Legendre 方程

1sin⁡θ\dvθ(sin⁡θ\dvΘθ)+\qty(λ−μsin⁡[2]θ)Θ=0 \frac{1}{\sin\theta} \dv{\theta}(\sin\theta \dv{\Theta}{\theta}) + \qty(\lambda - \frac{\mu}{\sin[2]{\theta}}) \Theta = 0 \nonumber

以及它的特殊情形, Legendre 方程

1sin⁡θ\dvθ(sin⁡θ\dvΘθ)+λΘ=0, \frac{1}{\sin\theta} \dv{\theta}(\sin\theta \dv{\Theta}{\theta}) + \lambda \Theta = 0, \nonumber

做变换 x=cos⁡θx = \cos\theta, y\qty(x)=Θ\qty(θ)y\qty(x) = \Theta\qty(\theta), 则又可将它们改写成

\dvx\qty[\qty(1−x2)\dvyx]+\qty(λ−μ1−x2)y=0 \dv{x}\qty[\qty(1 - x^2) \dv{y}{x}] + \qty(\lambda - \frac{\mu}{1 - x^2}) y = 0 \nonumber

和

\dvx\qty[\qty(1−x2)\dvyx]+λy=0. \dv{x}\qty[\qty(1 - x^2) \dv{y}{x}] + \lambda y = 0. \nonumber

Legendre 多项式

本征值问题

\dvx\qty[\qty(1−x2)\dvyx]+λy=0,\labeleq−14−1ay\qty(±1) 有界\labeleq−14−1b \begin{gather} \dv{x}\qty[\qty(1 - x^2) \dv{y}{x}] + \lambda y = 0, \tag{1a} \label{eq-14-1a} \\ y\qty(\pm 1) ~ \text{有界} \tag{1b} \label{eq-14-1b} \end{gather}

的解是

本征值λl=l\qty(l+1),l=0,1,2,…,\labeleq−14−2a本征函数yl\qty(x)=Pl\qty(x).\labeleq−14−2b \begin{align} & \text{本征值} & & \lambda_l = l \qty(l + 1), & & l = 0, 1, 2, \dots, \tag{2a} \label{eq-14-2a} \\ & \text{本征函数} & & y_l\qty(x) = \mathrm{P}_l\qty(x). \tag{2b} \label{eq-14-2b} \end{align}

Pl\qty(x)\mathrm{P}_l\qty(x) 称为 ll 次 Legendre 多项式,

Pl\qty(x)=∑n=0l1\qty(n!)2\qty(l+n)!\qty(l−n)!\qty(x−12)n\labeleq−14−3=∑r=0\qty[l/2]\qty(−1)rl!r!\qty(l−r)!\qty(2l−2r)!\qty(l−2r)!xl−2r.\labeleq−14−4 \begin{align} \mathrm{P}_l\qty(x) & = \sum_{n = 0}^l \frac{1}{\qty(n!)^2} \frac{\qty(l + n)!}{\qty(l - n)!} \qty(\frac{x - 1}{2})^n \tag{3} \label{eq-14-3} \\ & = \sum_{r = 0}^{\qty[l / 2]} \qty(-1)^r \frac{l!}{r! \qty(l - r)!} \frac{\qty(2 l - 2 r)!}{\qty(l - 2 r)!} x^{l - 2 r}. \tag{4} \label{eq-14-4} \end{align}

Legendre 多项式的主要性质

微分表示 (Rodrigues 公式)

Pl\qty(x)=12ll!\dv[l]x(x2−1)l.\labeleq−14−5 \begin{equation} \mathrm{P}_l\qty(x) = \frac{1}{2^l l!} \dv[l]{x}(x^2 - 1)^l. \tag{5} \label{eq-14-5} \end{equation}

生成函数

Legendre 多项式的生成函数是 1/1−2xt+t21 / \sqrt{1 - 2 x t + t^2},

11−2xt+t2=∑t=0∞Pl(x)tl,\vqtyv<min⁡\vqtyx±x2−1,\labeleq−14−6 \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x t + t^2}} = \sum_{t = 0}^{\infty} \mathrm{P}_l\pqty{x} t^l \qc \vqty{v} < \min\vqty{x \pm \sqrt{x^2 - 1}}, \tag{6} \label{eq-14-6} \end{equation}

规定多值函数 1/−2xt+t21 / \sqrt{- 2 x t + t^2} 的单值分枝为 \eval11−2xt+t2t=0=1\eval{\frac{1}{\sqrt{1 - 2 x t + t^2}}}_{t = 0} = 1.

递推关系

Legendre 多项式的主要递推关系有

\qty(2l+1)xPl\qty(x)=\qty(l+1)Pl+1\qty(x)+lPl−1\qty(x),\labeleq−14−7Pl\qty(x)=Pl+1′\qty(x)−2xPl′\qty(x)+Pl−1′\qty(x),\labeleq−14−8Pl+1′\qty(x)=xPl′\qty(x)+\qty(l+1)Pl\qty(x),\labeleq−14−9Pl−1′\qty(x)=xPl′\qty(x)−lPl\qty(x),\labeleq−14−10Pl+1′\qty(x)−Pl−1′\qty(x)=\qty(2l+1)Pl\qty(x).\labeleq−14−11 \begin{align} & \qty(2 l + 1) x \mathrm{P}_l\qty(x) = \qty(l + 1) \mathrm{P}_{l + 1}\qty(x) + l \mathrm{P}_{l - 1} \qty(x), \tag{7} \label{eq-14-7} \\ & \mathrm{P}_l\qty(x) = \mathrm{P}_{l + 1}'\qty(x) - 2 x \mathrm{P}_l'\qty(x) + \mathrm{P}_{l - 1}'\qty(x), \tag{8} \label{eq-14-8} \\ & \mathrm{P}_{l + 1}'\qty(x) = x \mathrm{P}_l'\qty(x) + \qty(l + 1) \mathrm{P}_l\qty(x), \tag{9} \label{eq-14-9} \\ & \mathrm{P}_{l - 1}'\qty(x) = x \mathrm{P}_l'\qty(x) - l \mathrm{P}_l\qty(x), \tag{10} \label{eq-14-10} \\ & \mathrm{P}_{l + 1}'\qty(x) - \mathrm{P}_{l - 1}'\qty(x) = \qty(2 l + 1) \mathrm{P}_l\qty(x). \tag{11} \label{eq-14-11} \end{align}

把这些递推关系重新组合, 还能给出其他形式的递推关系.

正交完备性

正交性

不同次数的 Legendre 多项式在区间 \comm−11\comm{-1}{1} 上正交,

∫−11Pl\qty(x)Pk\qty(x)\ddx=0,k≠l.\labeleq−14−12 \begin{equation} \int_{-1}^1 \mathrm{P}_l\qty(x) \mathrm{P}_k\qty(x) \dd{x} = 0 \qc k \neq l. \tag{12} \label{eq-14-12} \end{equation}

Legendre 多项式的模方

∫−11Pl\qty(x)Pl\qty(x)\ddx=22l+1.\labeleq−14−13 \begin{equation} \int_{-1}^1 \mathrm{P}_l\qty(x) \mathrm{P}_l\qty(x) \dd{x} = \frac{2}{2 l + 1}. \tag{13} \label{eq-14-13} \end{equation}

把 \eqrefeq−14−12\eqref{eq-14-12} 和 \eqrefeq−14−13\eqref{eq-14-13} 合并起来, 还可以写成

∫−11Pk\qty(x)Pl\qty(x)\ddx=22l+1δkl,\labeleq−14−14 \begin{equation} \int_{-1}^1 \mathrm{P}_k\qty(x) \mathrm{P}_l\qty(x) \dd{x} = \frac{2}{2 l + 1} \delta_{k l}, \tag{14} \label{eq-14-14} \end{equation}

其中 δij\delta_{i j} 是 Kronecker 的 δ\delta 符号.

通过变换 x=cos⁡θx = \cos\theta 变回到以 θ\theta 为自变量, \eqrefeq−14−14\eqref{eq-14-14} 就变为

∫0πPk\qty(cos⁡θ)Pl\qty(cos⁡θ)sin⁡θ\ddθ=22l+1δkl,\labeleq−14−14′ \begin{equation} \int_0^{\pi} \mathrm{P}_k\qty(\cos\theta) \mathrm{P}_l\qty(\cos\theta) \sin\theta \dd{\theta} = \frac{2}{2 l + 1} \delta_{kl}, \tag{14'} \label{eq-14-14'} \end{equation}

即 Pk\qty(cos⁡θ)\mathrm{P}_k\qty(\cos\theta) 和 Pl\qty(cos⁡θ)\mathrm{P}_l\qty(\cos\theta) 在区间 \comm0π\comm{0}{\pi} 上以权函数 sin⁡θ\sin\theta 正交. 权函数 sin⁡θ\sin\theta 正好就是微分方程

\dvθ(sin⁡θ\dvΘθ)+λsin⁡θΘ=0 \dv{\theta}(\sin\theta \dv{\Theta}{\theta}) + \lambda \sin\theta \Theta = 0 \nonumber

中本征值 λ\lambda 后的函数 sin⁡θ\sin\theta.

Legendre 多项式的完备性

任意一个在区间 \comm−11\comm{-1}{1} 中分段连续的函数 f\qty(x)f\qty(x), (在平均收敛意义下) 可以展开为级数

f\qty(x)=∑l=0∞clPl\qty(x),\labeleq−14−15 \begin{equation} f\qty(x) = \sum_{l = 0}^{\infty} c_l \mathrm{P}_l\qty(x), \tag{15} \label{eq-14-15} \end{equation}

其中的展开系数 clc_l 可以根据 Legendre 多项式的正交性求得

cl=2l+12∫−11f\qty(x)Pl\qty(x)\ddx.\labeleq−14−16 \begin{equation} c_l = \frac{2 l + 1}{2} \int_{-1}^1 f\qty(x) \mathrm{P}_l\qty(x) \dd{x}. \tag{16} \label{eq-14-16} \end{equation}

连带 Legendre 函数

本征值问题

\dvx\qty[\qty(1−x2)\dvyx]+\qty(λ−m21−x2)y=0,m=0,1,2,…,\labeleq−14−17ay\qty(±1) 有界\labeleq−14−17b \begin{align} & \dv{x}\qty[\qty(1 - x^2) \dv{y}{x}] + \qty(\lambda - \frac{m^2}{1 - x^2}) y = 0, & & m = 0, 1, 2, \dots, \tag{17a} \label{eq-14-17a} \\ & y\qty(\pm 1) ~ \text{有界} \tag{17b} \label{eq-14-17b} \end{align}

的解是

本征值λl=l\qty(l+1),l=m,m+1,m+2,…,\labeleq−14−18a本征函数yl\qty(x)=Plm\qty(x).\labeleq−14−18b \begin{align} & \text{本征值} & & \lambda_l = l \qty(l + 1), & & l = m, m + 1, m + 2, \dots, \tag{18a} \label{eq-14-18a} \\ & \text{本征函数} & & y_l\qty(x) = \mathrm{P}_l^m\qty(x). \tag{18b} \label{eq-14-18b} \end{align}

Plm\qty(x)\mathrm{P}_l^m\qty(x) 称为 mm 阶 ll 次连带 Legendre 函数,

Plm\qty(x)≡\qty(−1)m\qty(1−x2)m/2\dv[m]Pl\qty(x)x.\labeleq−14−19 \begin{equation} \mathrm{P}_l^m\qty(x) \equiv \qty(-1)^m \qty(1 - x^2)^{m / 2} \dv[m]{\mathrm{P}_l\qty(x)}{x}. \tag{19} \label{eq-14-19} \end{equation}

球面调和函数

定义

球面调和函数来自本征值问题

1sin⁡θ\pdvθ\qty[sin⁡θ\pdvS\qty(θ,ϕ)θ]+1sin⁡[2]θ\pdv[2]S\qty(θ,ϕ)ϕ+λS\qty(θ,ϕ)=0,\labeleq−14−20a \begin{equation} \frac{1}{\sin\theta} \pdv{\theta}\qty[\sin\theta \pdv{S\qty(\theta, \phi)}{\theta}] + \frac{1}{\sin[2]{\theta}} \pdv[2]{S\qty(\theta, \phi)}{\phi} + \lambda S\qty(\theta, \phi) = 0, \tag{20a} \label{eq-14-20a} \end{equation}

\evalSθ=0 有界,\evalSθ=π 有界,\labeleq−14−20b\evalSϕ=0=\evalSϕ=2π,\eval\pdvSϕϕ=0=\eval\pdvSϕϕ=2π.\labeleq−14−20c \begin{align} & \eval{S}_{\theta = 0} ~ \text{有界}, & & \eval{S}_{\theta = \pi} ~ \text{有界}, \tag{20b} \label{eq-14-20b} \\ & \eval{S}_{\phi = 0} = \eval{S}_{\phi = 2 \pi}, & & \eval{\pdv{S}{\phi}}_{\phi = 0} = \eval{\pdv{S}{\phi}}_{\phi = 2 \pi}. \tag{20c} \label{eq-14-20c} \end{align}

此本征值问题的本征值为

λl=l\qty(l+1),l=0,1,2,3,… ;\labeleq−14−21 \begin{equation} \lambda_l = l \qty(l + 1) \qc l = 0, 1, 2, 3, \dots; \tag{21} \label{eq-14-21} \end{equation}

而对应于一个本征值 λl\lambda_l, 有 2l+12 l + 1 个本征函数 (2l+12 l + 1 度简并)

Slm1\qty(θ,ϕ)=Plm\qty(cos⁡θ)cos⁡mϕ,m=0,1,2,…,l\labeleq−14−22aSlm2\qty(θ,ϕ)=Plm\qty(cos⁡θ)sin⁡mϕ,m=1,2,…,l.\labeleq−14−22b \begin{align} & S_{lm1}\qty(\theta, \phi) = \mathrm{P}_l^m\qty(\cos\theta) \cos{m \phi}, & & m = 0, 1, 2, \dots, l \tag{22a} \label{eq-14-22a} \\ & S_{lm2}\qty(\theta, \phi) = \mathrm{P}_l^m\qty(\cos\theta) \sin{m \phi}, & & m = 1, 2, \dots, l. \tag{22b} \label{eq-14-22b} \end{align}

或者组合成

Slm\qty(θ,ϕ)=Plm\qty(cos⁡θ)eimϕ,m=0,±1,±2,…,±l,\labeleq−14−22c \begin{equation} S_{lm}\qty(\theta, \phi) = \mathrm{P}_l^m\qty(\cos\theta) e^{i m \phi} \qc m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm l, \tag{22c} \label{eq-14-22c} \end{equation}

其中

Pl−m\qty(cos⁡θ)=\qty(−1)m\qty(l−m)!\qty(l+m)!Plm\qty(cos⁡θ). \mathrm{P}_l^{-m}\qty(\cos\theta) = \qty(-1)^m \frac{\qty(l - m)!}{\qty(l + m)!} \mathrm{P}_l^m\qty(\cos\theta). \nonumber

这些本征函数, 统称为球面调和函数, 或球谐函数.

在此基础上, 就可以写出球内 Laplace 方程边值问题

1r2\pdvr(r2\pdvur)+1r2sin⁡θ\pdvθ(sin⁡θ\pdvuθ)+1r2sin⁡[2]θ\pdv[2]uϕ=0,\labeleq−14−23a \begin{equation} \frac{1}{r^2} \pdv{r}(r^2 \pdv{u}{r}) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \pdv{\theta}(\sin\theta \pdv{u}{\theta}) + \frac{1}{r^2 \sin[2]{\theta}} \pdv[2]{u}{\phi} = 0, \tag{23a} \label{eq-14-23a} \end{equation}

\evaluθ=0 有界,\evaluθ=π 有界,\labeleq−14−23b\evaluϕ=0=\evaluϕ=2π,\eval\pdvuϕϕ=0=\eval\pdvuϕϕ=2π,\labeleq−14−23c\evalur=0 有界,\evalur=a=f\qty(θ,ϕ)\labeleq−14−23d \begin{align} & \eval{u}_{\theta = 0} ~ \text{有界}, & & \eval{u}_{\theta = \pi} ~ \text{有界}, \tag{23b} \label{eq-14-23b} \\ & \eval{u}_{\phi = 0} = \eval{u}_{\phi = 2 \pi}, & & \eval{\pdv{u}{\phi}}_{\phi = 0} = \eval{\pdv{u}{\phi}}_{\phi = 2 \pi}, \tag{23c} \label{eq-14-23c} \\ & \eval{u}_{r = 0} ~ \text{有界}, & & \eval{u}_{r = a} = f\qty(\theta, \phi) \tag{23d} \label{eq-14-23d} \end{align}

的一般解

u\qty(r,θ,ϕ)=∑l=0∞∑m=0lrlPl\qty(cos⁡θ)\qty(Almcos⁡mϕ+Blmsin⁡mϕ). u\qty(r, \theta, \phi) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^l r^l \mathrm{P}_l\qty(\cos\theta) \qty(A_{lm} \cos{m \phi} + B_{lm} \sin{m \phi}). \nonumber

正交性

ll 或 mm 不同的球面调和函数在整个 4π4 \pi 立体角上彼此正交, 即当 \qty(l,m)≠\qty(k,n)\qty(l, m) \neq \qty(k, n) 时, 有

∫0πPlm\qty(cos⁡θ)Pkn\qty(cos⁡θ)sin⁡θ\ddθ∫02πcos⁡mϕcos⁡nϕ\ddϕ=0,\labeleq−14−24a∫0πPlm\qty(cos⁡θ)Pkn\qty(cos⁡θ)sin⁡θ\ddθ∫02πsin⁡mϕsin⁡nϕ\ddϕ=0,\labeleq−14−24b∫0πPlm\qty(cos⁡θ)Pkn\qty(cos⁡θ)sin⁡θ\ddθ∫02πcos⁡mϕsin⁡nϕ\ddϕ=0.\labeleq−14−24c \begin{gather} \int_0^{\pi} \mathrm{P}_l^m\qty(\cos\theta) \mathrm{P}_k^n\qty(\cos\theta) \sin\theta \dd{\theta} \int_0^{2 \pi} \cos{m \phi} \cos{n \phi} \dd{\phi} = 0, \tag{24a} \label{eq-14-24a} \\ \int_0^{\pi} \mathrm{P}_l^m\qty(\cos\theta) \mathrm{P}_k^n\qty(\cos\theta) \sin\theta \dd{\theta} \int_0^{2 \pi} \sin{m \phi} \sin{n \phi} \dd{\phi} = 0, \tag{24b} \label{eq-14-24b} \\ \int_0^{\pi} \mathrm{P}_l^m\qty(\cos\theta) \mathrm{P}_k^n\qty(\cos\theta) \sin\theta \dd{\theta} \int_0^{2 \pi} \cos{m \phi} \sin{n \phi} \dd{\phi} = 0. \tag{24c} \label{eq-14-24c} \end{gather}

球面调和函数的模方

∫0π\qty[Plm\qty(cos⁡θ)]2sin⁡θ\ddθ∫02πcos⁡[2]mϕ\ddϕ=\qty(l+m)!\qty(l−m)!2π2l+1\qty(1+δm0),\labeleq−14−25a∫0π\qty[Plm\qty(cos⁡θ)]2sin⁡θ\ddθ∫02πsin⁡[2]mϕ\ddϕ=\qty(l+m)!\qty(l−m)!2π2l+1.\labeleq−14−25b \begin{align} & \int_0^{\pi} \qty[\mathrm{P}_l^m\qty(\cos\theta)]^2 \sin\theta \dd\theta \int_0^{2 \pi} \cos[2]{m \phi} \dd\phi = \frac{\qty(l + m)!}{\qty(l - m)!} \frac{2 \pi}{2 l + 1} \qty(1 + \delta_{m0}), \tag{25a} \label{eq-14-25a} \\ & \int_0^{\pi} \qty[\mathrm{P}_l^m\qty(\cos\theta)]^2 \sin\theta \dd\theta \int_0^{2 \pi} \sin[2]{m \phi} \dd\phi = \frac{\qty(l + m)!}{\qty(l - m)!} \frac{2 \pi}{2 l + 1}. \tag{25b} \label{eq-14-25b} \end{align}

(归一化的) 球面调和函数

Ylm(θ,ϕ)=(l−\vqtym)!(l+\vqtym)!2l+14πPl\vqtym(cos⁡θ)eimϕ,m=0,±1,±2,…,±l.\labeleq−14−26 \begin{equation} \mathrm{Y}_l^m\pqty{\theta, \phi} = \sqrt{\frac{\pqty{l - \vqty{m}}!}{\pqty{l + \vqty{m}}!} \frac{2 l + 1}{4 \pi}} \mathrm{P}_l^{\vqty{m}}\pqty{\cos\theta} e^{i m \phi} \qc m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm l. \tag{26} \label{eq-14-26} \end{equation}

相应的正交归一关系为

∫0π∫02πYlm\qty(θ,ϕ)Ykn∗\qty(θ,ϕ)sin⁡θ\ddθ\ddϕ=δlkδmn.\labeleq−14−27 \begin{equation} \int_0^{\pi} \int_0^{2 \pi} \mathrm{Y}_l^m\qty(\theta, \phi) \mathrm{Y}_k^{n*}\qty(\theta, \phi) \sin\theta \dd{\theta} \dd{\phi} = \delta_{lk} \delta_{mn}. \tag{27} \label{eq-14-27} \end{equation}