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2. 应力理论

Course NotesEngineering Mechanics for Civil EngineeringAbout 2 minAbout 591 words

2.2 斜面应力公式

应力张量

\vb∗σ=σij\vb∗ei\vb∗ej \vb*{\sigma} = \sigma_{ij} \vb*{e}_i \vb*{e}_j

柯西公式 / 斜面应力公式

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要求推导

\vb∗σ(\vb∗v)=\vb∗ν⋅\vb∗σ \vb*{\sigma}_{(\vb*{v})} = \vb*{\nu} \cdot \vb*{\sigma}

求斜面上的各种力

全应力

斜面应力 \vb∗σ(\vb∗ν)\vb*{\sigma}_{(\vb*{\nu})} 的大小

斜面正应力

\vb∗σn=σn\vb∗νσn=\vb∗σ(\vb∗ν)⋅\vb∗ν=\vb∗ν⋅\vb∗σ⋅\vb∗ν \begin{align*} \vb*{\sigma}_n & = \sigma_n \vb*{\nu} \\ \sigma_n & = \vb*{\sigma}_{(\vb*{\nu})} \cdot \vb*{\nu} = \vb*{\nu} \cdot \vb*{\sigma} \cdot \vb*{\nu} \end{align*}

斜面剪应力

\vb∗τ=\vb∗σ(\vb∗ν)−\vb∗σnτ=σ\vb∗ν2−σn2 \begin{align*} \vb*{\tau} & = \vb*{\sigma}_{(\vb*{\nu})} - \vb*{\sigma}_n \\ \tau & = \sqrt{\sigma_{\vb*{\nu}}^2 - \sigma_n^2} \end{align*}

给定力边界条件

pj=νiσij p_j = \nu_i \sigma_{ij}

2.3 应力分量转换公式

σm′n′=\vb∗σ(m′)⋅\vb∗σn′=\vb∗em′⋅\vb∗σ⋅\vb∗en′=βm′iβn′jσij \sigma_{m'n'} = \vb*{\sigma}_{(m')} \cdot \vb*{\sigma}_{n'} = \vb*{e}_{m'} \cdot \vb*{\sigma} \cdot \vb*{e}_{n'} = \beta_{m'i} \beta_{n'j} \sigma_{ij}

其中

βm′i=cos⁡(xm′,xi) \beta_{m'i} = \cos(x_m', x_i)

2.4 主应力, 应力不变量

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考一题计算

∣σ11−σνσ12σ13σ21σ22−σνσ23σ31σ32σ33−σν∣=0 \begin{vmatrix} \sigma_{11} - \sigma_{\nu} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} - \sigma_{\nu} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} - \sigma_{\nu} \\ \end{vmatrix} = 0

特征方程

σv3−I1σv2+I2σv−I3=0 \sigma_v^3 - I_1 \sigma_v^2 + I_2 \sigma_v - I_3 = 0

主应力

特征方程的三个特征根.

主应力的几个重要性质

  1. 不变性

  2. 实数性

  3. 正交性

  4. 极值性

    1. 最大 (或最小) 主应力是相应点处任意截面上正应力的最大 (或最小) 者

    2. 绝对值最大 (或最小) 的主应力是相应点处任意截面上全应力的最大 (或最小) 者

    3. 最大剪应力等于最大与最小主应力之差的一半

      τmax⁡=12(σ1−σ3) \tau_{\max} = \frac{1}{2} \pqty{\sigma_1 - \sigma_3}

2.5 最大剪应力, 八面体剪应力

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要求计算

八面体正应力

σ0=13(σ1+σ2+σ3)=13I1 \sigma_0 = \frac{1}{3} (\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3) = \frac{1}{3} I_1

八面体剪应力

τ0=132I12−6I2 \tau_0 = \frac{1}{3} \sqrt{2 I_1^2 - 6 I_2}

2.6 应力偏量

\vb∗σ=σ0\vb∗I+\vb∗σ′ \vb*{\sigma} = \sigma_0 \vb*{I} + \vb*{\sigma}'

应力球量

σ0\vb∗I=σij0\vb∗ei\vb∗ejσ0=13σkk(平均正应力) \begin{align*} \sigma_0 \vb*{I} & = \sigma_{ij}^0 \vb*{e}_i \vb*{e}_j \\ \sigma_0 & = \frac{1}{3} \sigma_{kk} & \quad (\text{平均正应力}) \end{align*}

应力偏量

\vb∗σ′=σij′\vb∗ei\vb∗ejσij′=σij−σ0δij \begin{align*} \vb*{\sigma}' & = \sigma_{ij}' \vb*{e}_i \vb*{e}_j \\ \sigma_{ij}' & = \sigma_{ij} - \sigma_0 \delta_{ij} \end{align*}

2.7 应力状态的三维莫尔圆

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三维不要求
平面要求

2.8 平衡微分方程

平衡微分方程 / 平衡方程

σji,j+fi=0 \sigma_{ji, j} + f_i = 0

运动微分方程

σji,j+fi=ρ\pdv[2]uit \sigma_{ji, j} + f_i = \rho \pdv[2]{u_i}{t}

剪应力互等定理 / 应力张量的对称性

σij=σji \sigma_{ij} = \sigma_{ji}