几种常见的数学物理方程

波动方程

在二阶线性偏微分方程的分类上属于双曲型方程.

$$\begin{align*} & \text{一维情形} & & \pdv[2]{u}{t} - a^2 \pdv[2]{u}{x} = f\qty(x, t), \\ & \text{二、三维情形} & & \pdv[2]{u}{t} - a^2 \laplacian{u} = f\qty(r, t). \end{align*}$$

常用的积分变换有 Laplace 变换和 Fourier 变换两种.

Laplace 变换

$$F\qty(p) = \int_0^{\infty} f\qty(t) e^{- p t} \dd{t}. \nonumber$$

正交曲面坐标系中的问分算符表达式

设正交曲面坐标系的三个坐标为 $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$, 其孤元 $\dd s$ 为

对含时间的 $n$ 维空间的齐次问题

Bessel 方程的来源

Helmholtz 方程在柱坐标系下分离变量, 可得

$$\begin{equation} \frac{1}{r} \dv{r}(r \dv{R}{r}) + \qty(\lambda - \frac{\nu^2}{r^2}) R = 0, \tag{1} \label{eq-15-1} \end{equation}$$

稳定问题的 Green 函数

对于 Poisson 方程的定解问题

$$\begin{gather} \laplacian{u} = \rho \qc r \in V, \tag{1a} \label{eq-18-1a} \\ \qty(\alpha u + \beta \pdv{u}{n})_{\Sigma} = f\qty(\Sigma), \tag{1b} \label{eq-18-1b} \end{gather}$$

伴算符与自伴算符

1.

设 $\hat{L}$ 和 $\hat{M}$ 为定义在一定函数空间内的线性 (微分) 算符, 若对于该函数空间内的任意函数 $u$ 和 $v$, 恒有

Legendre 方程和连带 Legendre 方程

Helmholtz 方程在球坐标系下分离变量, 即可得连带 Legendre 方程

$$\frac{1}{\sin\theta} \dv{\theta}(\sin\theta \dv{\Theta}{\theta}) + \qty(\lambda - \frac{\mu}{\sin[2]{\theta}}) \Theta = 0 \nonumber$$